勇闖新世界︰ W!o《卡夫卡村》變形祭︰感知自然‧尖端‧七

2015-10-08 懸鉤子

經過了那麼一段『量測講古』後，再回到『溼度感測器』的結構、原理、應用等等時，不知是否會有新的曙光︰

HTS221 Capacitive digital sensor for relative humidity and temperature

Features

0 to 100% relative humidity range
Supply voltage: 1.7 to 3.6 V
Low power consumption: 2 μA @ 1 Hz ODR
Selectable ODR from 1 Hz to 12.5 Hz
High rH sensitivity: 0.004% rH/LSB
Humidity accuracy: ± 4.5% rH, 20 to +80% rH
Temperature accuracy: ± 0.5 °C,15 to +40 °C
Embedded 16-bit ADC
16-bit humidity and temperature output data
SPI and I2C interfaces
Factory calibrated
Tiny 2 x 2 x 0.9 mm package
ECOPACK® compliant

Applications

Air conditioning, heating and ventilation
Air humidifiers
Refrigerators
Wearable devices
Smart home automation
Industrial automation
Respiratory equipments
Asset and goods tracking

Description

The HTS221 is an ultra compact sensor for
relative humidity and temperature. It includes a
sensing element and a mixed signal ASIC to
provide the measurement information through
digital serial interfaces.
The sensing element consists of a polymer
dielectric planar capacitor structure capable of
detecting relative humidity variations and is
manufactured using a dedicated ST process.
The HTS221 is available in a small top-holed cap
land grid array (HLGA) package guaranteed to
operate over a temperature range from -40 °C to
+120 °C.

【溼度感測器結構】

【溼度感測器工作原理】

─── 摘自

《 DESIGN OF MEMS BASED HIGH SENSITIVITY AND FASTRESPONSE CAPACITIVE HUMIDITY SENSOR 》

Mr.R.KARTHICK,
Dr.S.P.K.BABU,
Ms.AR.ABIRAMI,
Ms.S.KALAINILA.

Periyar Maniammai Institute of Science & Technology (PMIST)

讓我們得以進入『物理實驗』的殿堂，展開『數據』『分析』與『處理』之旅耶！終將通熟各類『感測器』 Sensors 的『應用』之『實務』乎！！

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

勇闖新世界︰ W!o《卡夫卡村》變形祭︰感知自然‧極限‧終則有始

2015-10-07 懸鉤子

在《踏雪尋梅！！》一文裡，我們談過『歐拉』之『最小作用量』原理︰

那麼科學上如何看待『預言』的呢？比方講一七四四年瑞士大數學家和物理學家萊昂哈德‧歐拉 Leonhard Euler 在《尋找具有極大值或極小值性質的曲線，等周問題的最廣義解答》 Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici lattissimo sensu accepti 論文中，非常清晰明白的給出『最小作用量原理』的定義

假使一個質量為 $M$ ，速度為 $v$ 的粒子移動無窮小距離 $ds$ 時。這時粒子的動量為 $M \cdot v$ ，當乘以此無窮小距離 $ds$ 後，給出 $M \cdot v \ ds$ ，這是粒子的動量作用於無窮小『路徑』 $ds$ 距離之上。我宣稱︰在所有連結『始終』兩個端點的可能『路徑』之中，這個粒子運動的真實『軌跡』是 $\int_{initial}^{final} M \cdot v \ ds$ 為最小值的『路徑』；如果假定質量是個常數，也就是 $\int_{initial}^{final} v \ ds$ 為最小值的『軌道』。

也就是說，在所有連結『始終』兩個端點的可能『路徑』 $path$ 之中，粒子所選擇的『路徑』是『作用量』 $A = \int_{path} M \cdot v \ ds$ 泛函數的『極值』，這是牛頓第二運動定律的『變分法』Variation 描述。如果從今天物理能量的觀點來看 $A = \int_{path} M \cdot v \ ds = \int_{path} M \cdot v \ \frac {ds}{dt} dt = \int_{path} M \cdot v^2 dt = 2 \int_{path} T dt$ ，此處 $T = \frac{1}{2} M v^2$ 就是粒子的動能。因為牛頓第二運動定律可以表述為 $F = M \cdot a = \frac {d P}{dt}, \ P = M \cdot v$ ，所以 $\int_{path} \frac {d P}{dt} ds = \int_{path} \frac {d s}{dt} dP = \int_{path} v dP = \Delta T = \int_{path} F ds$ 。

假使粒子所受的力是『保守力』conservative force，也就是講此力沿著任何路徑所作的『功』work 只跟粒子『始終』兩個端點的『位置』有關，與它行經的『路徑』無關。在物理上這時通常將它定義成這個『力場』的『位能』 $V = - \int_{ref}^{position} F ds$ ，於是如果一個粒子在一個保守場中， $\Delta T + \Delta V = 0$ ，這就是物理上『能量守恆』原理！舉例來說重力、彈簧力、電場力等等，都是保守力，然而摩擦力和空氣阻力種種都是典型的非保守力。由於 $\Delta V$ 在這些可能路徑裡都不變，因此『最小作用量原理』所確定的『路徑』也就是『作用量』 $A$ 的『極值』。一七八八年法國籍義大利裔數學家和天文學家約瑟夫‧拉格朗日 Joseph Lagrange 對於變分法發展貢獻很大，最早在其論文《分析力學》Mecanique Analytique 裡，使用『能量守恆定律』推導出了歐拉陳述的最小作用量原理的正確性。

從數學上講運動的『微分方程式』等效於對應的『積分方程式』，這本不是什麼奇怪的事，當人們開始考察它的『哲學意義』，可就引發很多不同的觀點。有人說 $F = m a$ 就像『結果 $\propto$ 原因』描繪『因果』的『瞬刻聯繫』關係，這是一種『決定論』，從一個『時空點』推及『無窮小時距』 $dt$ 接續的另一個『時空點』，因此一旦知道『初始狀態』，就已經確定了它的『最終結局』！有人講 $A = \int_{initial}^{final} M \cdot v \ ds$ 彷彿確定了『目的地』無論從哪個『起始處』出發，總會有一個『通達路徑』，這成了一種『目的論』，大自然自會找到『此時此處』通向『彼時彼處』的『道路』！！各種意義『詮釋』果真耶？宛如說『花開自有因，將要為誰妍』？？

所謂『科學的預言』不過是依據『條件』應用『自然律』所得到的『邏輯結論』罷了！設使『條件』正確，『定律』無誤，『推演』合理，若說『結果』不發生，怕也是『不可能』的了！也許本就不該有『環保問題』，因為對於孕育『人類生命』的『地球』理當懷著『謝天』的情懷，自然應該『愛惜保護』自己棲息的『大地』。並非是一再問著已經『氣候變遷』了嗎？或祇是不怕不悔，就怕是悔之晚矣！！

───

這也是『費曼』之『路徑積分』概念的古來淵源。

如果問『數學等效』的方程式，為什麼會有『哲學意義』的不同？就像薛丁格的波動方程式

i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi = \hat H \Psi

式中的 $\hat{H}$ 是『哈密頓』Hamiltonian 算符，

哈密頓量是拉格朗日量的勒壤得轉換：

H\left(q_j,p_j,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L(q_j,\dot{q}_j,t)

若定義廣義座標的變換方程式和 t 無關，可以證明 H 等於總能量 E = T + V.

對一個『能量守恆』的系統而言， $\hat{H}$ 算符通常不隨『時間』 t 改變，也就是說它只與『位置』和『動量』有關。此時若將

$\Psi (t) = \Psi \cdot e^{- \frac{i \cdot E \cdot t}_{\hbar}$

代入薛丁格的波動方程式，可以得到

不含時薛丁格方程式

不含時薛丁格方程式與時間無關，它預言波函數可以形成駐波，稱為定態（在原子物理學裏，又稱為軌道，例如，原子軌道或分子軌道），假若能夠計算出這些定態，分析出其量子行為，則解析含時薛丁格方程式會變得更為簡易。不含時薛丁格方程式為描述定態的方程式。只有當哈密頓量不與時間顯性相關，才會使用這方程式。^{[註 1]}廣義形式的不含時薛丁格方程式為^[3]^:24-27

\hat H \psi=E\psi

；

其中， $\psi$ 是不含時波函數， $E$ 是能量。

這方程式的詮釋為，假若將哈密頓算符作用於波函數 $\psi$ 時，得到的結果與同樣波函數 $\psi$ 成正比，則波函數 $\psi$ 處於定態，比例常數 $E$ 是量子態 $\psi$ 的能量。在這裏， $\psi$ 標記設定的波函數和其對應的量子態。這方程式為又稱為「定態薛丁格方程式」，引用線性代數術語，這方程式為「能量本徵薛丁格方程式」， $E$ 是「能量本徵值」，或「本徵能量」。

在三維空間裏，處於位勢 $V(\mathbf{r})$ 的單獨粒子，其不含時薛丁格方程式可以更具體地表示為

- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi(\mathbf{r})+V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r}) =E\psi(\mathbf{r})

。

從原本的『虛』、『實』對舉，變成了『時‧空』算符分殊。這個算符角色的『不對等性』，將如何與相對論之整體『四維時空觀』融會的呢？由此可知『費曼』之

路徑積分表述

量子力學的路徑積分表述（英語：path integral formulation）是一個從經典力學裡的作用原則延伸出來對量子物理的一種概括和公式化的方法。它以包括兩點間所有路徑的和或泛函積分而得到的量子幅來取代經典力學裡的單一路徑。路徑積分表述是理論物理學家理察·費曼在 1948 年發展出來。在此之前約翰·惠勒在他的博士論文裡已經得到一些早期結果。

因爲路徑積分的表述法顯然地把時間和空間同等處理，它成為以後理論物理學發展的重要工具之一。

路徑積分表述也把量子現像和隨機現像聯繫起來。為1970年代量子場論和概括二級相變附近序參數波動的統計場論統一奠下基礎。薛丁格方程式是虛擴散系數的擴散方程式，而路徑積分表述是把所有隨機移動路徑加起來的方法的分析延續。因此路徑積分表述在應用於量子力學前，已經在布朗運動和擴散問題上被應用。

……

哈密頓算符在量子力學中的意義

哈密頓算符 $H$ 是量子力學中的時間演化算符 $U(t_b,t_a)$ 的生成算符：

U(t_b,t_a)=e^{-\frac{i}{\hbar}(t_b-t_a)H}

一個量子粒子在時刻 $t_a$ 到 $t_b$ 間從位置 $x_a$ 運動到 $x_b$ 的量子機率幅是：

iG(x_b,t_b;x_a,t_a)\equiv \left\langle x_b \right| U(t_b,t_a) \left| x_a \right\rangle

因爲 $U(t_b,t_a)$ 是很複雜的算符函數，直接用以上定義計算 $iG(x_b,t_b;x_a,t_a)$ 非常困難。時間演化算符符合

U(t_b,t_a)=U(t_b,t)U(t,t_a)

因此量子幅符合

iG(x_b,t_b;x_a,t_a) = \int dx i G(x_b,t_b; x, t) iG(x, t; x_a,t_a)

。

此公式的物理理解為：從 $(t_a,x_a)$ 出發，在時刻 $t_b > t>t_a$ 先穿過位置 $x$ 再到達 $(t_b,x_b)$ 路徑的總量子幅是兩段路徑量子幅的積；而從 $(t_a,x_a)$ 到 $(t_b,x_b)$ 的量子幅是所有這種路徑的和。

───

在『物理意義』論述上的重要性。

若說是否用『複數』 Complex Number 描述的『機率波』振幅已成了『物理實在』的呢？也許借著《【Sonic π】電聲學補充《二》》文本中的故事，可以一窺這個『複數』的來歷︰

那麽要怎樣理解『複數』 $z = x + i \ y$ 的呢？如果說『複數』起源於『方程式』的『求解』，比方說 $x^2 + 1 = 0, \ x = \pm i$ ，這定義了『 $i = \sqrt{-1}$ 』，但是它的『意義』依然晦澀。即使說從『複數平面』的每一個『點』 $(x, y)$ 都對應著一個『複數』 $z = x + i \ y$ 可能還是不清楚『 $i$ 』的意思到底是什麼？假使再從『複數』的『加法上看』︰

假使 $z_1 = x_1 + i \ y_1$ 、 $z_2 = x_2 + i \ y_2$ ，

那麼 $z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i \ (y_1 + y_2)$ 。

這是一種類似『向量』的加法，是否『 $i$ 』的意義就藏在其中的呢？

一九九八年美國新罕布希爾大學 University of New Hampshire 的
Paul J. Nahin 教授寫了一本『An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1』的書，指出韋塞爾當初所講的『幾何意義 』就是︰

$i = \sqrt{-1} = 1 \ \angle 90^{\circ}$

，也就是說『i』就是『逆時鐘旋轉九十度』的『運算子』！

假使從複數的『極座標』表示法來看複數的『乘法』︰

假使 $z_1 = r \cdot e^{i \ \theta}, \ z_2 = \alpha \cdot e^{i \ \beta}$ ，那麼 $z_1 \cdot z_2 = \alpha \cdot r \cdot e^{i \ (\theta +\beta)}$

。就可以解釋成 Z1 『向量』被『逆時鐘旋轉』了『β』角度，它的『長度』被『縮放』了『α』倍！！

複數果真不是簡單的『數』啊！也難怪它是『完備的』的喔！！

電子和工程領域中，常常會使用到『正弦』 Sin 信號，一般可以使用『相量』 Phasor 來作簡化分析。『相量』是一個『複數』，也是一種『向量』，通常使用『極座標』表示，舉例來說一個『振幅』是 $A$ ，『角頻率』是 $\omega$ ，初始『相位角』是 $\theta$ 的『正弦信號』可以表示為 $A \ e^{j \ (\omega t + \theta)}$ ，這裡的『j』就是『複數的 i』。為什麼又要改用 $j = \sqrt{-1}$ 的呢？這是因為再『電子學』和『電路學』領域中 $i$ 通常代表著『電流』， $v$ 通常代表了『電壓』，因此為了避免『混淆』起見，所以才會『更名用 j』。

尤拉公式 Euler’s formula，是複數分析中的公式，它將三角函數與複數指數函數相關聯，對任意實數 $x$ ，都有

$e^{j x} = \cos x + j \sin x$

，它的重要性是不言而喻的啊！！

───

至於『複數』的『哲學意義』該如何說的呢？？或可先參閱

《【Sonic π】電聲學之電路學《四》之《 V!》‧下》文本，

細思『歐拉』所講的『可加性』說法，探究這『合理』的嗎？接著精研『現代論證』︰

假使我們將『幾何級數』 $1 + z + z^2 + \cdots + z^n + \cdots = \frac{1}{1 - z}$ ，擺放到『複數平面』之『單位圓』上來『研究』，輔之以『歐拉公式』 $z = e^{i \theta} = \cos \theta + i\sin \theta$ ，或許可以略探『可加性』理論的『意指』。當 $0 < \theta < 2 \pi$ 時， $\cos \theta \neq 1$ ，雖然 $|e^{i \theta}| = 1$ ，我們假設那個『幾何級數』會收斂，於是得到 $1 + e^{i \theta} + e^{2i \theta} + \cdots = \frac{1}{1 - e^{i \theta}}$ $= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \cot \frac{\theta}{2}$ ，所以 $\frac{1}{2} + \cos{\theta} + \cos{2\theta} + \cos{3\theta} + \cdots = 0$ 以及 $\sin{\theta} + \sin{2\theta} + \sin{3\theta} + \cdots = \frac{1}{2} \cot \frac{\theta}{2}$ 。如果我們用 $\theta = \phi + \pi$ 來『代換』，此時 $-\pi < \phi < \pi$ ，可以得到【一】 $\frac{1}{2} - \cos{\phi} + \cos{2\phi} - \cos{3\phi} + \cdots = 0$ 和【二】 $\sin{\phi} - \sin{2\phi} + \sin{3\phi} - \cdots = \frac{1}{2} \tan \frac{\phi}{2}$ 。要是在【一】式中將 $\phi$ 設為『零』的話，我們依然會有 $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots = \frac{1}{2}$ ；要是驗之以【二】式，當 $\phi = \frac{\pi}{2}$ 時，原式可以寫成 $1 - 0 - 1 - 0 + 1 - 0 - 1 - 0 + \cdots = \frac{1}{2}$ 。如此看來 $s = 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots = 1 +z s$ 的『形式運算』，可能是有更深層的『關聯性』的吧！！

複數平面之單位圓

假使我們將【二】式對 $\phi$ 作『逐項微分』得到 $\cos{\phi} - 2\cos{2\phi} + 3\cos{3\phi} - \cdots = \frac{1}{4} \frac{1}{{(\cos \frac{\phi}{2})}^2}$ ，此時令 $\phi = 0$ ，就得到 $1 - 2 + 3 - 4 + 5 - \cdots = \frac{1}{4}$ 。如果把【一】式改寫成 $\cos{\phi} - \cos{2\phi} + \cos{3\phi} - \cdots = \frac{1}{2}$ 然後對 $\phi$ 作『逐項積分』 $\int \limits_{0}^{\theta}$ ，並將變數 $\theta$ 改回 $\phi$ 後得到 $\sin{\phi} - \frac{\sin{2\phi}}{2} + \frac{\sin{3\phi}}{3} - \cdots = \frac{\phi}{2}$ ；再做一次作『逐項積分』 $\int \limits_{0}^{\theta}$ ，且將變數 $\theta$ 改回 $\phi$ 後將得到 $1 - \cos{\phi} - \frac{1 - \cos{2\phi}}{2^2} + \frac{1 - \cos{3\phi}}{3^2} - \cdots = \frac{\phi^2}{4}$ ，於是當 $\phi = \pi$ 時， $1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{8}$ 。然而 $1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \cdots = [1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \cdots] - [\frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} + \cdots]$ $=[1 - \frac{1}{4}][1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \cdots]$ ，如此我們就能得到了『巴塞爾問題』的答案 $\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ 。那麼

$S= \ \ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + \cdots$ 減
$4S=\ \ \ \ \ \ 4 + \ \ \ \ \ 8 + \ \ \ \ \ 12 + \cdots$ 等於
$-3S= 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots = \frac{1}{4}$ ，所以 $S = - \frac{1}{12}$ 。

但是這樣的作法果真是有『道理』的嗎？假使按造『級數的極限』之『定義』，如果『部份和』 $S_n = \sum \limits_{k=0}^{n} a_n$ 之『極限』 $S = \lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 存在， $S$ 能不滿足 $S = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \cdots = a_0 + (S - a_0)$ 的嗎？或者可以是 $\sum \limits_{n=0}^{\infty} k \cdot a_n \neq k \cdot S$ 的呢？即使又已知 $S^{\prime} = \sum \limits_{n=0}^{\infty} b_n$ ，還是說可能會發生 $\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n + b_n \neq S + S^{\prime}$ 的哩！若是說那些都不會發生，所謂的『可加性』的『概念』應當就可以看成『擴大』且包含『舊有』的『級數的極限』的『觀點』的吧！也許我們應當使用別種『記號法』來『表達』它，以免像直接寫作 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + \cdots = - \frac{1}{12}$ 般的容易引起『誤解』，畢竟是也存在著多種『可加法』的啊！至於說那些『可加法』的『意義詮釋』，就看『使用者』的吧！！

在此僅略為補充，『複數函數』 $f(z) = \frac{1}{1 -z}$ 除了 $z = 1$ 是『不連續』外，而『幾何級數』 $1 + z + z^2 + \cdots + z^n + \cdots = \frac{1}{1 - z}$ 在 $|z| < 1$ 『都收斂』，因是 $\lim \limits_{z \to |z_1^{-}| = 1^{-}} 1 + z + z^2 + \cdots + z^n + \cdots = f(z_1)$ 。也就是說『連續性』、『泰勒展開式』與『級數求和』等等之間有極深的『聯繫』，事實上它也與『定點理論』 $f(x) = x$ 之『關係』微妙的很啊！！

一九四八年時，荷蘭物理學家『亨德里克‧卡西米爾』 Hendrik Casimir 提出了『真空不空』的『議論』。因為依據『量子場論』，『真空』也得有『最低能階』，因此『真空能量』不論因不因其『實虛』粒子之『生滅』，總得有一個『量子態』。由於已知『原子』與『分子』的『主要結合力』是『電磁力』，那麼該『如何』說『真空』之『量化』與『物質』的『實際』是怎麽來『配合』的呢？因此他『計算』了這個『可能效應』之『大小』，然而無論是哪種『震盪』所引起的，他總是得要面臨『無窮共振態』 $\langle E \rangle = \frac{1}{2} \sum \limits_{n}^{\infty} E_n$ 的『問題』，這也就是說『平均』有『多少』各種能量的『光子？』所參與 $h\nu + 2h\nu + 3h\nu + \cdots$ 的『問題』？據知『卡西米爾』用『歐拉』等之『可加法』，得到了 ${F_c \over A} = -\frac {\hbar c \pi^2} {240 a^4}$ 。

此處之『負』 $-$ 代表『吸引力』，而今早也已經『證實』的了，真不知『宇宙』是果真先就有『計畫』的嗎？還是說『人們』自己還在『幻想』的呢？？

，最後反觀果然『真空不空』真的可以這樣『計算』的乎！！？？也許自會發現『哲學意義』的耶？？！！

如果以『成住壞空』之宇宙為舞台，『墜入黑洞』就是體驗『瞬間即永恆』的歌頌！要是『自然法則』過嚴，怎麼談『心靈自主』的哩？假使沒有『物理定律』，如何講『生命演化』的呢？？若問在這個『波瀾壯擴』的世界中，『 phasor 』到底是什麼？？它形成的『概率波』真是表達『機會』的吧！！如是才能賦予萬物『自由』的嘛？？還是我們需要創造『新數學』語言，方可摹寫

《 M♪o 之學習筆記本《辰》組元︰【䷀】萬象一原》

之時空？甚至產生一門『新科學』的嗎？？

生︰西方英國有學者，名作『史蒂芬‧沃爾夫勒姆』 Stephen Wolfram 創造『 Mathematica 』，曾寫

《一種新科學》 A New Kind of Science

，分類『細胞自動機』，欲究事物之本原。

Cellular automaton

A cellular automaton (pl. cellular automata, abbrev. CA) is a discrete model studied in computability theory, mathematics, physics, complexity science, theoretical biology and microstructure modeling. Cellular automata are also called cellular spaces, tessellation automata, homogeneous structures, cellular structures, tessellation structures, and iterative arrays.^[2]

A cellular automaton consists of a regular grid of cells, each in one of a finite number of states, such as on and off (in contrast to a coupled map lattice). The grid can be in any finite number of dimensions. For each cell, a set of cells called its neighborhood is defined relative to the specified cell. An initial state (time t = 0) is selected by assigning a state for each cell. A new generation is created (advancing t by 1), according to some fixed rule (generally, a mathematical function) that determines the new state of each cell in terms of the current state of the cell and the states of the cells in its neighborhood. Typically, the rule for updating the state of cells is the same for each cell and does not change over time, and is applied to the whole grid simultaneously, though exceptions are known, such as the stochastic cellular automaton and asynchronous cellular automaton.

The concept was originally discovered in the 1940s by Stanislaw Ulam and John von Neumann while they were contemporaries at Los Alamos National Laboratory. While studied by some throughout the 1950s and 1960s, it was not until the 1970s and Conway’s Game of Life, a two-dimensional cellular automaton, that interest in the subject expanded beyond academia. In the 1980s, Stephen Wolfram engaged in a systematic study of one-dimensional cellular automata, or what he calls elementary cellular automata; his research assistant Matthew Cook showed that one of these rules is Turing-complete. Wolfram published A New Kind of Science in 2002, claiming that cellular automata have applications in many fields of science. These include computer processors and cryptography.

The primary classifications of cellular automata, as outlined by Wolfram, are numbered one to four. They are, in order, automata in which patterns generally stabilize into homogeneity, automata in which patterns evolve into mostly stable or oscillating structures, automata in which patterns evolve in a seemingly chaotic fashion, and automata in which patterns become extremely complex and may last for a long time, with stable local structures. This last class are thought to be computationally universal, or capable of simulating a Turing machine. Special types of cellular automata are reversible, where only a single configuration leads directly to a subsequent one, and totalistic, in which the future value of individual cells depend on the total value of a group of neighboring cells. Cellular automata can simulate a variety of real-world systems, including biological and chemical ones.

Elementary cellular automata

The simplest nontrivial cellular automaton would be one-dimensional, with two possible states per cell, and a cell’s neighbors defined as the adjacent cells on either side of it. A cell and its two neighbors form a neighborhood of 3 cells, so there are 2³ = 8 possible patterns for a neighborhood. A rule consists of deciding, for each pattern, whether the cell will be a 1 or a 0 in the next generation. There are then 2⁸ = 256 possible rules.^[4] These 256 cellular automata are generally referred to by their Wolfram code, a standard naming convention invented by Wolfram that gives each rule a number from 0 to 255. A number of papers have analyzed and compared these 256 cellular automata. The rule 30 and rule 110 cellular automata are particularly interesting. The images below show the history of each when the starting configuration consists of a 1 (at the top of each image) surrounded by 0s. Each row of pixels represents a generation in the history of the automaton, with t=0 being the top row. Each pixel is colored white for 0 and black for 1.

Rule 30 cellular automaton

current pattern	111	110	101	100	011	010	001	000
new state for center cell	0	0	0	1	1	1	1	0

Rule 30

Rule 110 cellular automaton

current pattern	111	110	101	100	011	010	001	000
new state for center cell	0	1	1	0	1	1	1	0

Rule 110

Rule 30 exhibits class 3 behavior, meaning even simple input patterns such as that shown lead to chaotic, seemingly random histories.

Rule 110, like the Game of Life, exhibits what Wolfram calls class 4 behavior, which is neither completely random nor completely repetitive. Localized structures appear and interact in various complicated-looking ways. In the course of the development of A New Kind of Science, as a research assistant to Wolfram in 1994, Matthew Cook proved that some of these structures were rich enough to support universality. This result is interesting because rule 110 is an extremely simple one-dimensional system, and difficult to engineer to perform specific behavior. This result therefore provides significant support for Wolfram’s view that class 4 systems are inherently likely to be universal. Cook presented his proof at a Santa Fe Institute conference on Cellular Automata in 1998, but Wolfram blocked the proof from being included in the conference proceedings, as Wolfram did not want the proof announced before the publication of A New Kind of Science.^[56] In 2004, Cook’s proof was finally published in Wolfram’s journal Complex Systems (Vol. 15, No. 1), over ten years after Cook came up with it. Rule 110 has been the basis for some of the smallest universal Turing machines.^[57]

△ 倘願求其詳，或可從元胞自動機始。

───

最終，人類知道測量是什麼也。

In an end, we know what’s the measurement.

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

勇闖新世界︰ W!o《卡夫卡村》變形祭︰感知自然‧極限‧終

2015-10-06 懸鉤子

什麼是『百分之一』的呢？假使活在『百分之九十九』的人都是『色盲』的社會裡，是否那 1% 就『不可能』代表『真實』的呢？？畢竟『費曼』是一位『物理大師』，他說的『不二過』教訓

那麼在湯姆森發現『電子』之後，『原子』的面紗也已經逐漸揭開以來，又要如何量測一個『電子』的電荷量的呢？這就是科學史上著名的『油滴實驗』Oil-drop experiment，是美國物理學家羅伯特‧密立根 Robert Millikan 與哈維‧福萊柴爾 Harvey Fletcher 在一九零九年所進行的一項物理學實驗。密立根並因此獲得一九二三年的諾貝爾物理學獎。

羅伯特‧密立根在諾貝爾獎頒獎典禮上，表示他的計算值為 $4.774(5) \times {10}^{-10}$ 靜庫侖，約等於 $1.5924(17) \times {10}^{-19}$ 庫侖。現今已知的數值與密立根的結果差異小於百分之一，但是仍然比密立根測量結果的『標準誤差』 standard error 大了五倍，因此具有統計學上的顯著差異。在密立根油滴實驗六十年後，科學史學家發現，密立根一共向外公布了五十八次觀測數據，而他本人一共做過一百四十次觀測。他在實驗中先通過預先估測，去掉了那些他認為有偏差，以及誤差大的數據。

一九七四年美國大物理學家理查‧費曼 Richard Phillips Feynman 曾經在『加州理工學院』 California Institute of Technology 的一場畢業典禮演說當中述說『草包族科學』Cargo cult science，他其中有一段講：

從過往的經驗，我們學到了如何應付一些自我欺騙的情況。舉個例子，密立根做了個油滴實驗，量出了電子的帶電量，得到一個今天我們知道是不大對的答案。他的資料有點偏差，因爲他用了個不準確的空氣粘滯係數數值。於是，如果你把在密立根之後、進行測量電子帶電量所得到的資料整理一下，就會發現一些很有趣的現象：把這些資料跟時間畫成座標圖，你會發現這個人得到的數值比密立根的數值大一點點，下一個人得到的資料又再大一點點，下一個又再大上一點點，最後，到了一個更大的數值才穩定下來。

為什麼他們沒有在一開始就發現新數值應該較高？── 這件事令許多相關的科學家慚愧臉紅 ── 因為顯然很多人的做事方式是：當他們獲得一個比密立根數值更高的結果時，他們以為一定哪裡出了錯，他們會拚命尋找，並且找到了實驗有錯誤的原因。另一方面，當他們獲得的結果跟密立根的相仿時，便不會那麼用心去檢討。因此，他們排除了所謂相差太大的資料，不予考慮。我們現在已經很清楚那些伎倆了，因此再也不會犯同樣的毛病。

─── 引自《【Sonic π】電聲學導引《三》》

不知到底敵過敵不過『心理詐術』的耶！！

然而『費曼』他打開了『古典力學』通達薛丁格之『波動方程式』之路逕，再一次的將『時‧空』的角色平等『對應定位』起來，

Annemarie and Erwin Schrödinger’s gravesite; above the name plate Schrödinger’s quantum mechanical wave equation is inscribed:

i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi = \hat H \Psi

Richard Feynman at the Robert Treat Paine Estate in Waltham, MA, in 1984.

These are just three of the paths that contribute to the quantum amplitude for a particle moving from point A at some time t₀ to point B at some other time t₁.

The diagram shows the contribution to the path integral of a free particle for a set of paths.

Path integral formulation
Feynman’s interpretation

Dirac’s work did not provide a precise prescription to calculate the sum over paths, and he did not show that one could recover the Schrödinger equation or the canonical commutation relations from this rule. This was done by Feynman.^[4]

Feynman showed that Dirac’s quantum action was, for most cases of interest, simply equal to the classical action, appropriately discretized. This means that the classical action is the phase acquired by quantum evolution between two fixed endpoints. He proposed to recover all of quantum mechanics from the following postulates:

The probability for an event is given by the modulus length squared of a complex number called the “probability amplitude”.
The probability amplitude is given by adding together the contributions of all paths in configuration space.
The contribution of a path is proportional to $e^{i S/\hbar}$ , where S is the action given by the time integral of the Lagrangian along the path.

In order to find the overall probability amplitude for a given process, then, one adds up, or integrates, the amplitude of postulate 3 over the space of all possible paths of the system in between the initial and final states, including those that are absurd by classical standards. In calculating the amplitude for a single particle to go from one place to another in a given time, it is correct to include paths in which the particle describes elaborate curlicues, curves in which the particle shoots off into outer space and flies back again, and so forth. The path integral assigns to all these amplitudes equal weight but varying phase, or argument of the complex number. Contributions from paths wildly different from the classical trajectory may be suppressed by interference (see below).

Feynman showed that this formulation of quantum mechanics is equivalent to the canonical approach to quantum mechanics when the Hamiltonian is quadratic in the momentum. An amplitude computed according to Feynman’s principles will also obey the Schrödinger equation for the Hamiltonian corresponding to the given action.

The path integral formulation of quantum field theory represents the transition amplitude (corresponding to the classical correlation function) as a weighted sum of all possible histories of the system from the initial to the final state. And Feynman diagram is a graphical representation of a perturbative contribution to the transition amplitude.

也許『人性』最平凡的詮釋，就是從『眾』到唯『我』間，無窮之『可能性』的吧！？

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勇闖新世界︰ W!o《卡夫卡村》變形祭︰感知自然‧極限‧中

2015-10-05 懸鉤子

或許那個開拓科學輝煌偉大的時代，方能啟示不凡人物，竟只用『鉛球』就敢『度量』上帝所創世界的『萬有引力』常數 G ︰

據 E. T. Whittaker 先生的《A history of the theories of aether and electricity. Vol 1》上說︰

一七五三年義大利物理學家喬凡尼‧貝卡立亞 Giovanni Beccaria 就著手研究物質的導電性質。他在『放電』電路的路徑中裝載了充滿水的玻璃管，並以身體當作『檢流計』，發現了玻璃管的截面積越大，電流的放電衝擊強度也越大。然而卡文迪什則更深入，一七七五年提交給英國皇家學會的回憶錄上說︰『鐵線』的電傳導性要比『蒸餾水』好上四億倍，『海水』又比『雨水』好一百倍，然而『飽和』的『海鹽溶液』要比『雨水』更好了七百二十倍……

這位出身貴族家庭的『亨利‧卡文迪什』 Henry Cavendish 是英國的物理學家與化學家。他最早對『氫氣』的性質進行了詳細的『研究』，證明了『水』並非是『單質』；而且預言了空氣中『稀有氣體』的存在。他首先發現了『庫倫定律』以及『歐姆定律』，又同時將『電位勢 』的概念廣泛應用於『電學』，而且精確測量了『地球』的『密度』，被認為繼是『牛頓』之後英國最偉大的科學家之一。一七九七到一七九八年間卡文迪什的『萬有引力常數』量測，是物理學上著名的『經典實驗』，其中『扭秤』的關係式可以表達為

$G = \frac{2 \pi^2 L r^2}{M T^2} \theta$
$G = g\frac{R_\text{earth}^2}{M_\text{earth}} = \frac{3g}{4\pi R_\text{earth}\rho_\text{earth}}$

，此處 $T$ 是扭秤的自然共振周期， $\rho_\text{earth}$ 是地球密度。測得了 $G = 6.74 \times {10}^{-11} m^3 kg^{-1} s^{2}$ ，與今天的測量數值差距約為百分之一！！

─── 引自《【Sonic π】電聲學導引《四》》

這位『卡文迪什』先生『測量值』有『百分之一』差異，並非代表今日測量之高明，卻是述說著昔時求知的熱切。或許一個曾經作過『普物實驗』的人，將更能夠體會維基百科中所講的『實驗誤差』之來源乎？

誤差分類

絕對誤差和相對誤差

絕對誤差（Absolute error） = 測量值 – 真值。是測量值（單一測量值或多次測量值的均值）與真值之差。若測量結果大於真值時，誤差為正，反之為負。

相對誤差（Relative Error） = 絕對誤差 ÷ 真值。為絕對誤差與真值的比值（可以將以百分比(%)、千分比(ppt)、百萬分比(ppm)表示，但常以百分比表示）。一般來說，相對誤差更能反映測量的可信程度。

例如，測量者用同一把尺子測量長度為 1 厘米和 10 厘米的物體，它們的測量值的絕對誤差顯然是相近的，但是相對誤差前者比後者大了一個數量級，表明後者測量值更為可信。

系統誤差、隨機誤差和毛誤差

誤差的來源可以分為系統誤差（又稱可定誤差）、隨機誤差（又稱未定誤差）和毛誤差（又稱過失誤差）。

系統誤差(System error)分為固定誤差與比例誤差，原因可能有儀器本身誤差 (instrumental errors)、採用方法的誤差(method errors)、個人誤差(personal errors)、環境誤差（Environmental error）。理論上系統誤差可以通過一定的手段(如:校正)來消除。舉例而言，天平的兩臂應是等長的，可實際上是不可能完全相等的；天平配置的相同質量的砝碼應是一樣的，可實際上它們不可能達到一樣。

隨機誤差(Random error)，無法控制的變因，會使得測量值產生隨機分布的誤差。它服從統計學上所謂的「常態分布」或稱「高斯分布」，它是不可消除的，在這個意義上，測量對象的真值是永遠不可知的，只能通過多次測量獲得的均值儘量逼近。系統誤差以相同的方式影響所有測量值，將它們推向同一個方向；隨機誤差，則隨著不同次的測量而變化，有時候向上或向下。

毛誤差(Gross error)，毛誤差主要是由於測量者的疏忽犯了不應有的錯誤造成的。例如讀數錯誤、記錄錯誤、測量時發生未察覺的異常情況等等，這種誤差是可以避免的(如:捨棄有關數據重新測量)。

系統誤差中的個人誤差(personal errors)與毛誤差(Gross error)的差別

個人誤差又稱人員誤差，是由於測定人員的分辨力、反應速度的差異和固有習慣引起的誤差。這類誤差往往因人而異，因而可以採取讓不同人員進行分析，以平均值報告分析結果的方法予以限制。

毛誤差主要是由於測量者的疏忽所造成的。

用等式可以表達，隨機誤差中可能存在的結果為^[1]，

單獨測量值 = 精確值 + 隨機誤差

而系統誤差中，則結果為^[2]：

單獨測量值 = 精確值 + 偏度 + 隨機誤差

假使問︰當人所推導的『現象方程式』或創造之『物理理論』可以為『實驗』所『確證』。那人是否就能滿意於這樣之『自然描述』的呢？？也許上世紀的一場『大哉辯』可以回答一二的吧！！

相對論將『觀察者』帶入物理，改變了『量測』的基本觀念。雖然無限精準的『測量』即使作不到，尚且還可以想像。但是量子力學把『量測』的『測不準』原理放進物理，就是說連想像『粒子』的『軌跡』在原理上都不『允許』！！量子力學是使用著『運算子』operator 的語言來描寫微小粒子之『事件概率』的『波函數』。那『測不準原理』是什麼呢？所謂『經典物理學』classic physics 對一個『物體』運動軌跡的描述是由它的『位置』和『速度』或說『動量』所確定的，一九二七年德國的維爾納‧海森堡 Werner Heisenberg 卻講任何『量子系統』之『量測』必為如下的關係式所制約︰

$\Delta x \Delta p \ge \hbar$

$\Delta t \Delta E \ge \hbar$

這並不是因為觀察者的量測，影響了系統── 比方說用粗大的溫度計量一小杯水的溫度 ──所導致的『觀察者效應』，而是宇宙的本質如此。所以即使是想像一個箱子裡的『電子軌跡』都沒有『旨趣』，你不量測它想說它是『波』或者是『粒子』之象純屬『無謂』。這引發一些物理學大方家不滿，認為量子力學根本尚未『完備』。就像發展完成量子力學『波動方程式』的埃爾溫‧薛丁格，他卻也是提出一個稱之為『薛丁格貓 』之想像實驗的人，用以表達目前量子力學之『哥本哈根詮釋』所必須思考的嚴峻性矛盾問題︰

薛丁格是如此描述這個實驗的：

實驗者甚至可以設置出相當荒謬的案例來。把一隻貓關在一個封閉的鐵容器裡面，並且裝置以下儀器（注意必須保固這儀器不被容器中的貓直接干擾）：在一台蓋革計數器內置入極少量放射性物質，由於物質的數量極少，在一小時內，這個放射性物質至少有一個原子衰變的機率為 50%，它沒有任何原子衰變的機率也同樣為50%；假若衰變事件發生了，則蓋革計數管會放電，通過繼電器啟動一個榔頭，榔頭會打破裝有氰化氫的燒瓶。經過一小時以後，假若沒有發生衰變事件，則貓仍舊存活；否則發生衰變，這套機構被觸發，氰化氫揮發，導致貓隨即死亡。用以描述整個事件的波函數竟然表達出了活貓與死貓各半糾合在一起的狀態。

類似這典型案例的眾多案例裏，原本只局限於原子領域的不明確性被以一種巧妙的機制變為宏觀不明確性，只有通過打開這個箱子來直接觀察才能解除這樣的不明確性。它使得我們難以如此天真地接受採用這種籠統的模型來正確代表實體的量子特性。就其本身的意義而言，它不會蘊含任何不清楚或矛盾的涵義。但是，在一張搖晃或失焦的圖片與雲堆霧層的快照之間，實則有很大的不同之處。

不僅如此，在量子系統中，假使兩個粒子在經過短時間彼此間耦合之後，儘管將這兩個粒子分隔很遠的一段距離，量測其中任何一個粒子，會不可避免地影響到另外一個粒子的度量性質，彷彿有隔空的傳心術一般，這種關聯現象稱之為『量子糾纏 』quantum entanglement 。

當初愛因斯坦，波多爾斯基和羅森三人提出 ── Albert Einstein, Boris Podolsky and Nathan Rosen EPR paradox ── 這個悖論的目的是想用，沒有任何『物理訊息』── 量子糾纏也該不行 ──的傳播能夠超過『光速』，來證明量子力學的不完備性。但是多次重複所做的實驗已經證實量子糾纏的這個論點，也就是說，量子糾纏的速度確實比光速還要快。最近完成的一項實驗顯示，量子糾纏的作用速度至少比光速快上萬倍，這還只是速度的下限，因為根據量子理論，測量效應是瞬時的。

人類打開了大自然的『天書』，讀取了其中『幾頁』，到底該如何『理解』進而能『詮釋』它呢？許多跡象顯示現今的人們多半只愛談『應用』，至於到底『電子』是存在的嗎？或只是為著理論的『方便』所作的『虛構』的呢？假使它果存在，又為什麼時而是『粒子』時而是『波』的呢？……就留與其人了！！

─── 引自《測不準原理》

如果身處狗急不只能『跳牆』還能『穿牆』的宇宙裡，彷彿那一顆《箱內電子！！》，那麼什麼是『 □□ 真值』的呢？又將要如何來談論量測『 ○○ 誤差』的耶？？

《説文解字》：燕，玄鳥也。籋口，布翄，枝尾。象形。凡燕之屬皆从燕。

玄鳥生商

春分玄鳥降，湯之先祖有娀氏女簡狄配高辛氏帝，帝率與之祈于郊而生契。

《詩經‧商頌‧玄鳥》

天命玄鳥，降而生商，宅殷土芒芒。古帝命武湯，正域彼四方。方命厥後，奄有九有。商之先後，受命不殆，在武丁孫子。武丁孫子，武王靡不勝。龍旂十乘，大糦是承。邦畿千里，維民所止，肇域彼四海。四海來假，來假祁祁。景員維河。殷受命鹹宜，百祿是何。

《敦煌變文集‧燕子賦》

燕子曰︰人急燒香，狗急驀牆。

如果說狗急跳牆，那狗也可能會遇到『跳不過的』牆，可是這個『電子』說來是更玄的啊！它跳得過那個跳不過的牆！！

一九二七年丹麥的大物理學家尼爾斯‧波耳 Niels Bohr 在量子力學中，提出了『互補性原理』complementarity principle ︰

微觀物體可能具有波動性或粒子性，有時會表現出波動性，有時會表現出粒子性。當描述微觀物體的量子行為時，必須同時思考其波動性與粒子性。

也就是說『電子』要當作『粒子』講或當作『波動』講，得看具體情況而定，像在『陰陽互補』的未定之天。因為『量子系統』滿足的『波動方程式』是個『機率波』，所以那個『箱內電子』就有機會在『箱外』被發現，並將此效應命名為『量子穿隧效應』Quantum tunnelling effect 。

……

『掃描式隧道顯微鏡』 STM scanning tunneling microscope 是一種利用『量子穿隧效應』探測物質表面結構的儀器。這個儀器在一九八一年於瑞士 IBM 蘇黎世實驗室，由德國物理學家格爾德‧賓寧 Gerd Binnig 和瑞士德裔物理學家海因里希‧羅雷爾 Heinrich Rohrer 所發明，兩人因此於一九八六年獲得諾貝爾物理學獎的殊榮。這個厲害的設備，可以讓科學家『觀察』與『定位』『單個原子』，是同等級的『原子顯微鏡』中之『分辨率』的『極高等級』。假使在『四度 $K$ 』的低溫下，可以利用『探針尖端』精確的『操縱原子』，故為『奈米科技』中的重要『量測儀器』和『加工工具』。

左圖是單獨鈷原子在 $Cu(111)$ 表面上的形貌影像。

───

其實這都還來不及說道『圖靈』的『慧見』哩！！？？

在《人工智慧！！ 》一文中，我們簡述了有『電腦科學之父』之稱的『艾倫‧圖靈』生平。據聞一九五四年，『圖靈』因著朋友的建議讀了『量子力學』排遣煩惱，他果真是『善讀書者』的啊︰

It is easy to show using standard theory that if a system starts in an eigenstate of some observable, and measurements are made of that observable N times a second, then, even if the state is not a stationary one, the probability that the system will be in the same state after, say, one second, tends to one as N tends to infinity; that is, that continual observations will prevent motion …

— Alan Turing as quoted by A. Hodges in Alan Turing: Life and Legacy of a Great Thinker p. 54

，這在今天稱為『量子芝諾效應』Quantum Zeno effect，也叫作『圖靈悖論』。源於一九七七年時，George Sudarshan 和 Baidyanath Misra 將『實驗發現』的

一個『不穩定』的粒子，如果『持續觀測』，它將會『不衰變』

的『現象』，與『芝諾』所說的『動矢不動』作『比較』，因而『得名』。如果說『量測』將會引發『度量不確定性』，這個觀念相對容易了解，『觀察者』之『測量』卻能『改變現象』，講起來就有些『奇也怪哉』的吧！假使我們反過來想一個系統『本來』就在『某個狀態』裡，人們卻極為『頻繁』的『一再追問』，你真的是在『那個狀態』中的嗎？『大自然』卻不厭其煩的『回答是』，這倒是有趣的很的呢！若有人『煮飯』三不五時『掀開來瞧』，那這飯到底能『煮的熟嗎』？？

─── 引自《【Sonic π】電聲學之電路學《四》之《 V!》‧上》

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勇闖新世界︰ W!o《卡夫卡村》變形祭︰感知自然‧極限‧始

2015-10-04 懸鉤子

在繼續探究『溼度』感測器原理之前，先行了解『感知自然』是否可能存在『極限』，也許可以擴大且加深對『自然科學』之認識。知道『事實』、『實驗』…形成『假設』……到完成『學說理論』的歷史過程，說明了『實驗』是驗證『科學』最重要的『方法』，而『量測』當然就成為根本之『核心精神』。因此明白『量測』的基本概念及其『原則』，非但十分必要，也是減少『誤解』之法門的耶！？或許有時『論辯真理』不失為積極參與『知識對錯』有益之途徑，何不直援引國立臺灣師範大學 ntnu 一篇文章的『開場白』作為討論的起點呢︰

實驗數據的處理與分析

物理是個實驗科學，免不了要從事測量。很多同學常常疑惑的是

不知道如何正確的分析與處理實驗的數據。

希望本單元能對你（妳）有所幫助！

為了減少本網頁篇幅，歡迎繼續參考物理實驗相關網頁。

誤差 = 測量值 – 真值

談實驗數據往往會先談到誤差的定義。於是出現了上面的式子。

誤差就是所測得的數值與被測量物理量真正數值之間的差別。

好像很有道理，又好像在講廢話！

先想一想，為什麼我們要從事測量？（才能有測量值！）

如果我已經知道想測量的物理量的真值，我為什麼還要去測它？

難道就為了要知道測量的誤差嗎？

就是因為不知道物理量的真值才要測量。

那！誤差的定義又有什麼用呢？

實驗數據的處理與分析

便是想運用統計的方法，

讓我們從多次的測量數據中，估算出最接近真值的數據。

也就是我們所想要的測量結果。並藉由誤差的分析，讓我們瞭解

我們所做的估算，可信度有多高！並探討實驗誤差的可能來源。

拿一杯開(茶)水或咖啡，以下可有好一陣子讓妳（你）想一想的！

───

為了解析『誤差 = 測量值 – 真值』到底有沒有說些什麼之大哉問？？就讓我們串講『度量』的始中終吧！如同

《觀測之『測天文』》文本所說，

人們通常混淆了『儀器』與『度量』的根本之不同，因是之故，認為『更好』的儀器就一定能發覺『更多』的『差異』。事實上並不是『這樣』的；其實是因為人的『疑惑』，才會使人們開始了『觀測』，『意圖』明白人事物是否有個『法則』，於是一再的『改善』工具，希望『知道』更『全面』的『深』和『精』，並使之都能『符合』著已知的『質』與『量』。也就是說就一個『儀器』而言，只能講這個『度量』是『精確』的嗎？能不能夠『藉此』做出什麼是『有效沒效』的『結論』罷了！！

那麽人類最早的『儀器』又是什麼呢？也許自當是『人的感官』── 眼耳鼻舌身 ── 吧！或許就是因為離人太近就在人的體表，所以就不把它當成是一種度量的『設備』了，然而事實上『科學之旅』正是自此開始！！

近年臺灣有一位知名的地球物理學家趙丰先生在『科學人』雜誌上發表了一篇名為『燭龍︰千百世代的古今奇緣』，這篇文章論證著『山海經』未必是純屬『神話』，它上面寫的『蠋龍』就是今天所熟知『北極光』之『肉眼』所觀的形象之描繪啊！！就像屈原在《楚辭·天問》中也會想問︰『西北闢啟，何氣通焉？日安不到，燭龍何照？』。

───

雖然人類很早就開始『觀天測地』，但是談到如何建立『度量衡』之『法則』，依舊『觀點』尚且混沌未明的也。所以才會發生

《亞里斯多德之輪！！》之悖論的乎？？

公元前三八四年亞里斯多德出生於色雷斯的斯塔基拉，他是哲學家柏拉圖的學生與亞歷山大大帝的老師。他一生著作豐富，囊括了物理學、形上學、詩歌、戲劇、音樂、生物學、動物學、邏輯學、政治、政府、以及倫理學，乃西方哲學的奠基者之一。亞里斯多德的物理學思想深刻的重塑了中世紀的學術思想，其影響力之大延伸到了文藝復興時期，終被伽利略所改寫 ，後為牛頓物理學所取代。

傳聞亞里斯多德著作了一本『 Mechanica or Mechanical Problems; Greek: Μηχανικά 』之力學書，這個『亞里斯多德之輪』的悖論就是出自這本書。滾動一個圓狀物，用它在平面上運動的『軌跡』就可以測量『圓周長』，這本是平凡無奇。但是左圖的動畫卻顯示，大小二圓顯然走了一樣的『距離』，難道它們的『圓周長』一樣的嗎？由歐基里德的幾何學可以知道圓周長等於『 π ‧ 直徑』，這到底是怎麼回事呢？很清楚 $\overline{AD} = \overline{BE} = \overline{CF}$ ，難道不是這樣的嗎？一六三二年伽利略用義大利文撰寫了一部天文學著作，英文譯作『關於托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話』。在『第一天』的對話裡，他談到了『亞里斯多德之輪』︰

SALV. Otherwise what? Now since we have arrived at paradoxes let us see if we cannot prove that within a finite extent it is possible to discover an infinite number of vacua. At the same time we shall at least reach a solution of the most remarkable of all that list of problems which Aristotle himself calls wonderful; I refer to his Questions in Mechanics. This solution may be no less clear and conclusive than that which be himself gives and quite different also from that so cleverly expounded by the most learned Monsignor di Guevara.*

First it is necessary to consider a proposition, not treated by others, but upon which depends the solution of the problem and from which, if I mistake not, we shall derive other new and remarkable facts. For the sake of clearness let us draw an accurate figure. ……

……

經由伽利略分解論證的說，是否『物理量』不得不是個『實數』 Real number 的呢！！

因此伽利略用『可分割』之『有限多邊形』來研究『無窮多邊』的『圓』，並說這個『有限』到『無窮』的『跳躍』是『一步到位』之『不可說』之超越。他觀察以第一圖『大』多邊形為主的每『定』點之『軌跡』，與第二圖『小』多邊形為主的各『定』點之『現象』來作比較。事實上是『大小』兩多邊形的運動軌跡不同，而且不同時間的速度也不相同。其實與平面之『接觸點』輪轉而變化，這個『想像』的『固定點』就是亞里斯多德之輪的『誤謬』來源。如果從現今的物理學來講只有『圓心』之軌跡才走『那一條』畫出的軌跡︰

如今這個『大圓』上之圓周的某個『定點』，畫出的『軌跡』稱之為『擺線』cycloid。為什麼要叫作『擺線』的呢？也許是德國的數學家 Christiaan Huygens 所發現這樣作的『鐘擺』之『準確性』和『振幅』無關，或許可以作為一種精準的時鐘？然而事實又何止是如此的呢？有人研究地球上『A、B』兩點之間運動的『最短時間』曲線；以及有人發現一條叫作 Tautochrone curve 的『同時曲線』── 各物不管原先『起始』在哪個位置，它所『到達』的時刻卻都是相同的 ── 顯示這一切或許不得不與『之』有關的吧！！

之後撐起了經典物理『時空連續體』的大廈，

《【Sonic π】電聲學之電路學《四》之《 !!!! 》下》，為

『相對論』奠定了基石。

伽利略變換

$\begin{bmatrix} x^{\prime} \\ t^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -v \\0 & 1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x \\ t \end{bmatrix}$

時空圖

勞侖茲變換

$\begin{bmatrix} x^{\prime} \\ t^{\prime} \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^2}} \begin{pmatrix} 1 & -v \\ -\frac{v}{c^2} & 1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x \\ t \end{bmatrix}$

『運動是第一義』它意指什麼的呢？如果考察人們對『時間』的『認識』，總離不開對物體『運動』的『觀察』。之前在《時間是什麼？？》一文裡，我們談到了『古典物理』是以『牛頓第一運動定律』所指稱的『慣性座標系觀察者』之『時空觀』為『基礎』的。『牛頓』假設『存在』一個對所有的『慣性座標系』中『觀察者』都『相同』並且『恆定恆速』的『時間之流』，自此『時間』就成為『第一義』的了。也就是說如果『□觀察者』說『兩事件』『同時發生』，『○觀察者』也講那『兩事件』『同時發生』。因而『第一運動定律』── 假使沒有外力作用，靜者恆靜，動者作等速直線運動，在『第二運動定律』的強大光芒『覆照』下，反倒顯得晦暗不明的了，宛如是個『力等於零』的『特例』一般。於是『速度』 $v$ 的『定義』 $v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ 與『相對速度』是 $v$ 的『兩』個『慣性座標系』彷彿是『同義語』。殊不知這個『相對速度』是『兩』個『觀察者』之『互見』，而且『運動方向』相反，並不能『自見』的啊！要是說果真能夠『自見』又豈會自己『無法度量』的呢？於是乎有『無窮多』個『慣性觀察者』各以『無限種』之『相對速度』『運動』，然而他們所『觀察到』的『自然律』都是一樣的，這就是『慣性』的『本義』。其實『觀察者』之『概念』有一點像『抽象擬人化』的說法，比方說，一個『對我而言』運動中的『粒子』，在『粒子』自己的『慣性座標系』裡，『自然律』一樣的『適用』。如此『對我而言』可用『我的時空』將那個『粒子』標示在『我的時空圖』 $(x_{\Box}, t_{\Box})$ 上，一個與『粒子偕行』相對『靜止』的『觀察者』，就把『我的運動』畫在『他的時空圖』 $(x_{\bigcirc}, t_{\bigcirc})$ 上的了。這個『互為動靜』的『論述』就是『相對運動』的『實質』，並不存在『絕對運動』的啊。所以『我說』『那個粒子』在 $t_{p^{-}}$ 『時刻』『接近』 $x_{p^{-}}$ 『位置』，當 $t_p$ 『時』『到達』 $x_p$ 『處』，於 $t_{p^{+}}$ 『之後』『離開』 $x_{p^{+}}$ 『之地』，『我』將此『等速運動』歸之於『粒子』的『運動慣性』；那個與『粒子偕行』相對『靜止』的『觀察者』亦將此『等速運動』歸之於『我』的『運動慣性』，這就是『運動』之『慣性』的『第一義』。所謂『飛鳥之景未嘗動也，鏃矢之疾而有不行不止之時』是不了解『慣性之意』『跳躍』於『互為動靜』之間，事實上對『任一方』而言，那個『相對運動』都是『存在的』，根本不會有『瞬時速度』存不存在的問題，所以才名之為『慣性定律』︰ $v = \frac{- \delta x}{- \delta t} = \frac{ \delta x}{ \delta t} = \frac{+ \delta x}{+ \delta t}$ ，或者比喻的說︰在牛頓力學裡，沒有任何東西能夠阻擋『恆定恆速』之『時間之流』的啊！！

當『愛因斯坦』假設了『光速』對所有的『慣性觀察者』都是『一樣的』之後，引申出了『同時性的破壞』、『運動的鐘會變慢』、『運動的尺會縮短』…等等的『大哉論』，人們開始恍然大悟所謂的『相對』、所見的『運動』…之種種必須以『量測方法』為依據，面對『大自然』的『事實』並沒有『純粹思辯』所得之理『一定對』之『位置』的吧！

如果從『伽利略變換』如何『觀察』這個『相對性』的意義的呢？假設以『□觀察者』 $(x_{\Box}, t_{\Box})$ 為『靜止』，『□觀察者』見『○觀察者』 $(x_{\bigcirc}, t_{\bigcirc})$ 以『速度』 $v$ 向右運動，假使他們彼此能『交換資訊』，同意兩者的『原點』相同，那麼他們對『時空現象』或者說『事件』的『位置‧時間』描述滿足

$\begin{bmatrix} x_{\bigcirc} \\ t_{\bigcirc} \end{bmatrix} = G_v \begin{bmatrix} x_{\Box} \\ t_{\Box} \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -v \\0 & 1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x_{\Box} \\ t_{\Box} \end{bmatrix}$

。『□觀察者』的『原點』 $(0, t_{\Box})$ 對『□觀察者』是『靜止』的，然而對『○觀察者』而言，是 $x_{\bigcirc} = - v \cdot t_{\Box}$ 和 $t_{\bigcirc} = t_{\Box}$ ，它以『速度』 $v$ 『等速向左』運動。其次對於『□觀察者』而言，所發生的『同時兩事件』 $(x_{\Box}^1, t_{\Box})$ 與 $(x_{\Box}^2, t_{\Box})$ ，對『○觀察者』而言，是 $(x_{\Box}^1 - v \cdot t_{\Box}, t_{\Box})$ 和 $(x_{\Box}^2 - v \cdot t_{\Box}, t_{\Box})$ 也是『同時的』。既然『運動是相對的』，假使我們以『○觀察者』為『靜止』，來作個『伽利略變換』的『物理檢驗』，那麼 $\begin{bmatrix} x_{\Box} \\ t_{\Box} \end{bmatrix} = G_{-v} \begin{bmatrix} x_{\bigcirc} \\ t_{\bigcirc} \end{bmatrix}$ 當是應該的了。也就是說 $G_{-v} = {G_v}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & v \\0 & 1 \end{pmatrix}$ ，讀者自己可以『確證』 $\begin{pmatrix} 1 & v \\0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & - v \\0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & - v \\0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & v \\0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix}$ 它的『正確性』。也可以說『物理之要求』不得不決定了『數學的表達式』的吧！，所謂的『自然律』並不『必須』要『滿足』這種或那種『數學』的耶！！如果說『○觀察者』觀測某一個『星辰』 $(x_{\star}, t_{\star})$ 用 $w$ 的『速度』向右『直線運動』，那麼這一個『星辰』相對於『□觀察者』的『速度』是什麼的呢？『直覺上』我們認為既然『★ 對 ○ 是 w 向右，○ 對 □ 是 v 向右』，那麼『★ 對 ○ 該是 w + v 向右』的吧！我們可以用『伽利略變換』計算如下

$\begin{bmatrix} x_{\star} \\ t_{\star} \end{bmatrix} = G_w \begin{bmatrix} x_{\bigcirc} \\ t_{\bigcirc} \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -w \\0 & 1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x_{\bigcirc} \\ t_{\bigcirc} \end{bmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 1 & -w \\0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & -v \\0 & 1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x_{\Box} \\ t_{\Box} \end{bmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 1 & -(w+v) \\0 & 1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x_{\Box} \\ t_{\Box} \end{bmatrix}$

$= G_{(w+v)} \begin{bmatrix} x_{\Box} \\ t_{\Box} \end{bmatrix}$

，果真是『符合直覺』的勒！！

假使這些『考察』改用『狹義相對論』的『勞侖茲變換』

$\begin{bmatrix} x_{\bigcirc} \\ t_{\bigcirc} \end{bmatrix} = L_v \begin{bmatrix} x \\ t \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^2}} \begin{pmatrix} 1 & -v \\ -\frac{v}{c^2} & 1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x_{\Box} \\ t_{\Box} \end{bmatrix}$ 來看的呢？

讀者自可『證實』除了『原點』之外，『同時性』因為有著 $-\frac{v}{c^2}$ 『位置相關項』的『存在』而被『破壞』了；然而物理所要求的『相對性』 $L_{- v} = L_{v}^{-1}$ 依然成立。那個『相對速度』之『加法』就顯然非常『違反直覺』的成了

$L_w \cdot L_v = L_{w \bigoplus v} = \frac{1}{\sqrt{1 - {[\frac{(w+v)/c}{1+(wv/c^2)}]}^2}} \begin{pmatrix} 1 & -[\frac{(w+v)}{1+(wv/c^2)}] \\ -\frac{1}{c^2} {[\frac{(w+v)}{1+(wv/c^2)}]}^2 & 1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x_{\Box} \\ t_{\Box} \end{bmatrix}$

$\neq L_{(w + v)} \begin{bmatrix} x_{\Box} \\ t_{\Box} \end{bmatrix}$

。如果將『速度加法』定義為 $w \bigoplus v = \frac{w + v}{1 + (w v / c^2)}$ 的話，那麼 $L_{w \bigoplus v} = \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{(w \bigoplus v)}{c})}^2}} \begin{pmatrix} 1 & -(w \bigoplus v) \\ -\frac{(w \bigoplus v)}{c^2} & 1 \end{pmatrix}$ 這又能有什麼『不對』的嗎？因是之故，『狹義相對論』所帶來的『困惑』遠勝於『運動之不可能性』，反倒以為『運動』果真能是這種『現象』的嘛！！

───

因此人們的理念深入了自然『實在』，清楚什麼是『量測』，追求減少『誤差』的來源，規劃『理想度量』之情境 ──

假使能將『物理系統』彼此間的『交互作用』作『極小化』，若是可把『實驗設計』連『相互影響』都一並考慮了。──

我們應該就能『度量』物理量之『真值』的了！！如是所謂之

『誤差 = 測量值 – 真值』『恆等式』

，這個『普通物理』之概念，它代表『真值存在』的『信心』。它表達物理量『量測』之數學『不等式』，

$\alpha \leq \ \Box_{true} \ \leq \beta$

，我們的確知道『真值』的『界線範圍』在哪裡！！？？

不過誰曉得『擲骰子的上帝』，祂敲醒了愛因斯坦『想象實驗』之美夢的耶？？！！

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