15 | 9 月 | 2014 | FreeSandal

我們已經知道，在物理上『波』是『空間』或者『物質』中『擾動』的『傳播現象』。它在傳播時『波前』將『能量』由此處帶往彼處，通常『波』即使需要透過『介質』傳播，構成那個介質的『物質粒子』在『波前通過時』並不會產生『永久性位移』之變化，也不會一併跟著『波前前進』發生了『物質傳送』的現象。假使說將『波前』想像成空間『擾動式樣』，分布在『介質』的『空間』裡，那麼『波前』在『時間』中行徑之『變化』，也就是『波傳播』的『時空圖像』了。自然界各種不同類型的『波』，不論它是『機械的』還是『非機械的』都可以由廣義的『波動方程式』來描述，然而『具體現象』之『□□波』的『數學形式』，卻是各有各的不同。

一個『振動』的『音叉』因為與『周遭空氣』的碰撞傳遞『能量』給空氣中的某些『分子』，然後這些分子又去碰撞『周遭另一些分子』將『振動』漸次依時傳遞下去。然而在『傳遞振動』時，先時碰撞之『所得』將為此時碰撞之『所失』，因此『空氣分子』並不會因為『傳播聲音』就跟著聲音『一塊跑了』！！

一七一七年出生的讓‧勒朗‧達朗貝爾 Jean le Rond D’Alembert，是法國的物理學家、數學家和天文學家。他的身世非常可憐，是某位『作家』與一個『騎士』的私生子，出生後即被遺棄在巴黎的一座名為聖‧讓‧勒‧朗 Saint Jean-le-Rond 之教堂附近，故依習俗以教堂的名字取名，後為一位『玻璃匠』收養長大成人。達朗貝爾的一生在很多學科領域裡進行研究，於數學、力學、天文學、哲學、音樂和社會活動方面都有很多的建樹。一生六十六年間，著有八卷巨著《數學手冊》、力學專著《動力學》、二十三卷的《文集》以及《百科全書》的序言。他的很多的研究成果記載於《宇宙體系的幾個要點研究》中。一七四七年達朗貝爾發表了《Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration》Researches on the curve that a tense cord forms [when] set into vibration 的論文；由於他的貢獻，其後之人將『一維波動方程式』以及它的『通用解』general solution 稱之為『達朗貝爾公式』d’Alembert’s formula。

如果說一個『擾動』可以數學上描述為 $u(x, t)$ ，這是講在 $t_n$ 時刻，這個擾動的『振幅』 $u(x, t_n)$ 在 $u, x$ 所構成的座標系上看是一條『波前曲線』。假使這個波前沿著 $x$ 軸『向右』以速度 $c$ 『保形』等速傳播，那麼 $t^'$ 時刻時，這條曲線就可以用 $u^{'} = u(x - c t^{'})$ 來描述。同樣的如果這個波前沿著 $x$ 軸『向左』以速度 $c$ 『保形』等速傳播，那麼 $t^'$ 時刻時，這條曲線也可以用 $u^{'} = u(x + c t^{'})$ 來描述。如此這個保形的擾動 $u(x, t)$ 會滿足

$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$ 偏微分方程式。

這就將我們帶進了所謂的『一維波動方程式』。由此來推測這個『偏微分方程式』的『通用解』將可以表示為：

在 x 軸上一個向左傳播的波和一個向右傳播的波的疊加。

在數學的描述上，一維波動方程式定義為︰

$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}, \ u(x,0) = g(x), \frac {\partial u(x,0)}{\partial t} = h(x)$

$- \infty < x< \infty, \ t \geq 0$ 。

前面所講的『波前保形』傳播想法，舉例來說它可以是一個『平面波』在『均勻介質』中的傳播，或者說是某種『自然』或『人為』的『線型水面波』。大自然中的『現象』有時會『指引』數學上『求解』的『方向』，因為終究人們能夠發現的那個現象方程式，也是來自於『大自然』的啊！！難到一個不受外物影響的『波前』它在 $t$ 時刻的『相同相位』── $x \overset{+}{-} c t$ ── 之點，到了 $t^{'}$ 時刻就會變成不一樣的嗎？？

因此物理上的『直覺』，建議著數學上的『變數變換』 $\mu = x + c t, \ \eta = x - c t$

，這樣那個方程式就變成了

$\frac {\partial u(\mu, \eta) } {\partial {\mu} \partial{\eta}}=0$ ，因此

$u(\mu,\eta) = F(\mu) + G(\eta)$

，此處的 $F( \mu), G ( \eta)$ 就是『向左』與『向右』的波，一個與 $g, h$ 有關的『待解』函數，從初始條件可得

$\because u(x,0)=g(x), \ \therefore F(x)+G(x) = g(x)$

$\because \frac{\partial u(x,0}{\partial t}) = h(x), \ \therefore cF'(x)-cG'(x)=h(x)$

『求解』再變換回 $x, t$ 後就得到了達朗貝爾公式

$u(x, t) = \frac{1}{2}\left[g(x - c t) + g(x + c t)\right] + \frac{1}{2c} \int_{x - c t}^{x + c t} h(\xi) \, d\xi$

為了闡明『波』的傳播與簡諧振子『振動』的密切關係，就讓我們考慮一個由『彈簧與質點』所構成的『彈簧鏈模型』物理系統︰

有 $N$ 個質點 ── 它的大小不計，假設比 $h$ 小很多 ── 以間隔 $h$ 均勻的安置在總長度為 $L = N h$ 的彈簧鏈 ── 它的質量不計，假設比一個質點 $m$ 小很多 ── 上，此系統總質量 $M = N m$ ，鏈的總體虎克常數為 $K = \frac{k}{N}$

圖中 $u(x)$ 表示位於 $x$ 處的質點偏離平衡位置的距離。

假使這個彈簧鏈物理系統不受其它外力作用，如果我們分析作用在位於 $x+h$ 處的質點 $m$ 上的力，依據牛頓第二運動定律

$F_{Newton} = m \cdot a(t) = m \cdot {{\partial^2 \over \partial t^2} u(x+h, t)}$

$F_{Hooke} = F_{x+2h} + F_x$
$= k \left [ {u(x+2h, t) - u(x+h, t)} \right ] + k[u(x, t) - u(x+h, t)]$

此處 $F_{Newton}$ 代表 $u(x+h)$ 處質點慣性力，而 $F_{Hooke}$ 表達 $u(x+h)$ 處質點所受到的來自左右『鄰近』兩方的『虎克之彈簧回復力』。因此根據『動力學』中的『達朗貝爾原理』── 知名的『虛功原理』的動力學版本 ──，這個位於 $u(x+h)$ 處質點的運動方程式是 $F_{Newton} - F_{Hooke} = 0$ ，所以

$m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]$

它可以用整個物理系統的常量 $L, M, K$ 將上式改寫為

${\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^2}$

如果設想一條長度 $L$ 的彈簧鏈模型之極限 $N \rightarrow \infty , h\rightarrow 0$ 狀況，此時 $N \cdot h = L$ ，這個物理系統將可以看成『線密度』是 $\frac {M}{L}$ 的『弦』了。這個系統的波動方程式為

${\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 }$

比之於一維波動方程式，於是得到波速 $c = \sqrt {\frac{{KL^2 }}{M}}$ 。

果真是此處 $x_p$ 一時 $t_i$ 之『振動』 $u(x_p, t_i)$ ，它要是掀起了『波瀾』 $u(x \overset{+}{-} c t)$ ，就將會引起了彼處 $x_q$ 它時之『動盪』 $u(x_q, t_j)$ 。易經裡講︰『震』亨。震來虩虩，笑言啞啞。 震驚百里，不喪匕鬯。當真如此！！