16 | 9 月 | 2014 | FreeSandal

在數學上的『數』和物理中之『量』，其實是兩種『不同概念』。『物理量』是從『度量』而來，所以會擁有『度量單位』，比方講『時間︰秒』、『長度︰米』與『質量︰公斤』等等；然而『數學數』卻是『沒有單位』dimensionless 的，它屬於『抽象』之『值』的概念，就像說從『三朵花』、『三個人』和『三件事』 …，得出了『三』這個『數』，那裡頭並沒有『朵‧個‧件』這些的單位。一八六零年代英國科學家馬克士威 Maxwell 及克耳文 Kelvin 提出『公分‧克‧秒』的 CGS 制，是第一個有連貫性的公制系統。一八七四年英國科學促進會 BAAS 正式推動此公制系統。這一個公制系統的特點是『密度』為 $\frac{g}{{cm}^3}$ ，『力』是達因 $dyne$ ，與『機械能』稱爾格 $erg$ ，將『熱能』的『單位』叫做卡路里︰定義為一克的水由溫度 15.5 °C 加溫至 16.5 °C 所需的熱量。由於 CGS 制在電學上有二套不同的單位系統，一者是靜電單位 ESU 制，另一者是電磁單位 EMU 制，這就造成了使用上的不方便。一八九三年在芝加哥舉行的國際電工代表大會 International Electrical Congress 使用基於『米‧公斤‧秒』的定義，重新定義電流單位『國際安培』。一九零一年時，義大利科學家喬吉‧喬望尼 Giovanni Giorg 發現假使增加一個電學的單位為基礎單位，可以解決電學單位不一致的問題，比方說『米‧公斤‧秒‧庫侖』 MKSC 制或是『米‧公斤‧秒‧安培』 MKSA 制。現今 MKS 『國際單位制』是使用最廣的單位系統，從喬吉所提出的『MKSA 制』延伸而得，其基礎單位為『米‧公斤‧秒‧安培‧熱力學溫標‧燭光及莫耳』。在二零一一年十月舉行的第二十四屆國際度量衡大會已經提議更改四個基礎單位的定義，即將成為新國際單位制之定義，不過上述的修改並不會影響一般人的『單位使用』。怪哉！遽聞至今『美國』都沒有採用 MKS 『國際標準制』！！

為什麼要討論『物理量』的『單位』呢？因為一般物理定律都用著『數學式』表達，萬一所計算的物理量發生了『 1 公斤 + 6 米 – 8 秒 』，這可能要比南宋著名禪宗大師大慧宗杲，是臨濟宗楊岐派第五代傳人，所提倡的『看話禪』── 舉個例說︰『萬法歸一，一歸何處？』── 還要『難參無解』。據說物理量使用單位的『因次分析』dimensional analysis 始於牛頓之『相似性原理』；就建立因次分析的現代意義用法上講，馬克士威是位重要的推手，他區分『質量』、『長度』、『時間』的度量單位為『基礎單位』，將其它單位歸類為『衍生單位』。十九世紀時法國數學家約瑟夫‧傅立葉 Joseph Fourier 洞悉了『物理定律』的『數學方程式』應當與度量物理量的『單位無關』。難道說一個人用『 □□ 制』單位，另一個人用『○○制』單位，他們的牛頓第二運動定律 $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$ 就因此會是『兩種』的嗎？假使兩人描述『同一』自然現象，在彼此使用的『單位換算』後，竟然能夠是『答案不同』的嗎？？

那什麼是物理量的『因次』呢？舉個例子，在 $MKS$ 制中，一般力的『度量單位』是『牛頓』Newton，通常用 $N$ 代表。那你怎麼知道『一牛頓的力』有多大呢？其實它有個『定義』︰

$1 N$ $\equiv_{df}$ 使質量 $1 kg$ 物體的加速度為 $1 \frac{m}{s^2}}$ 時所需要的力

。那麼這個定義又從哪裡來的呢？它就是從牛頓第二運動定律 $F = m \cdot a$ 來的，因此 $F$ 之『 $N$ 』那個單位與 $m \cdot a$ 的『 $kg \cdot \frac{m}{s^2}}$ 』這個度量單位，都是表達牛頓第二運動定律中『力』、『質量』和『加速度』的『概念』間的『物理量』的『單位度量關係』。由於我們是從『質量』和『加速度』的基礎物理量之『大小』，來定義『力的單位』，所以說『牛頓』是一個衍生的『導出單位』。如果比較 CGS 制『一達因的力』之『定義』

$1 dyne$ $\equiv_{df}$ 使質量 $1 g$ 物體的加速度為 $1 \frac{cm}{s^2}}$ 時所需要的力

，所以 $1 N = 1 \frac{kg \cdot m}{s^2}} = \frac{1000 g \cdot 100 cm}{s^2}} = 10^5 \frac{g \cdot cm}{s^2}} = 10^5 dyne$

。仔細考察『單位轉換』的過程，『 $1 kg = 1000 g$ 』，而『 $kg, g$ 』都是『質量度量』單位，同樣的『 $1 m = 100 cm$ 』中之『 $m, cm$ 』都是『長度度量』單位。由於『自然界』並沒有偏好哪一種『度量單位』，它的選擇當然是『人為的』。其次『相同』的『度量領域』的『單位變換』，它的『變換係數』通常是無單位的數值『常數』，比方說『 $1 m = {10}^2 cm$ 』中之『 ${10}^2$ 』，或者『 $1 kg = {10}^3 g$ 』裡的『 ${10}^3$ 』，因為它們都是同類的度量單位。於是我們可以說『因次』就是『物理單位』中『物理概念』的『度量抽象』。舉例來講，不論長度的度量單位是『米、公分、尺、…』，我們都說這個『物理量』的『因次』是『長度』。這樣一個物理量的因次就可以由是基本的『質量』、『長度』、『時間』、『電荷量』、『絕對溫度』…組合，藉由對應的『因次符號』『M』、『L』、『T』、『Q』、『 $\Theta$ 』…來表達，將該物理量的因次寫成『 $M^{q_1} \cdot L^{q_2} \cdot T^{q_3} \cdot Q^{q_4} \cdot {\Theta}^{q_5} \cdots$ 』，此處的 $q_1, q_2, q_3, \cdots$ 都是『有理數』。

假使說發現了一個物理定律，就說是『彈簧』的『虎克定律』 $F = k \cdot x$ 吧，那麼虎克常數『 $k$ 』的因次是什麼呢？如果將這個線性彈簧施加『1 N』的力，它從平衡處位移了『 $\alpha \cdot m$ 』，此處 $\alpha$ 是『無因次』的『純量』。這樣依據『虎刻定律』

$1 N = 1 kg \cdot \frac{m}{s^2}} = k \cdot \alpha \cdot m$

，因此 $k = {\alpha}^{-1} \frac{kg}{s^2}}$ ， $k$ 的因次是 $M \cdot T^{-2}$ ，也許有人想還是『牛頓/米』比較親切的啊！這個『每秒每秒幾公斤』到底是什麼的嗎？？事實上『自然定律』將各個『物理概念』聯繫了起來，於是『同類現象』或者『運動現象』在『度量上』需要與『已經定義』的『單位』保有『一致性』，能夠彼此『相容』。就像牛頓的『萬有引力』定律 $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ ，既然是『力的範疇』，那個『萬有引力常數』 $G$

$G = \left(6.67384 \plusmn 0.00080 \right) \times 10^{-11} \ \mbox{m}^3 \ \mbox{kg}^{-1} \ \mbox{s}^{-2}$

的『單位』就得確保最終 $G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ 是『力』的單位，而且符合『一牛頓的力』度量之大小『定義』。當然它的因次 $L^3 \cdot M^{-1} \cdot T^{-2}$ 就是『抽象』的了！要是說道兩靜電荷間作用力的『庫侖定律』

$F = k_{\mathrm{e}}\frac{qq'}{r^2}$ ，
$k_{\mathrm{e}} = 8.987\ \times 10^9 \ \mathrm{N \cdot m^2 \cdot C^{-2}}$

，就怕那個『庫侖常數』 $k_{\mathrm{e}}$ 的『因次』 $M \cdot L^3 \cdot T^{-2} \cdot Q^{-2}$ 會是『天書』的吧！其實這卻是許多『物理常數』的由來！！

如果回顧一下《【Sonic π】聲波之傳播原理︰振動篇》一文︰

依據牛頓第二運動定律，一個簡諧振子的方程式為

$F = m a = m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k x$ ，它的解是

$x(t) = A\cos\left( \omega t+\phi\right)$ ，此處 $\phi$ 是『相位角』，

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{2\pi}{T}$ ，式中 $\omega$ 是『角頻率』， $T$ 是『周期』。

也就是說簡諧振子是一種『頻率』為 $f = \frac {1}{T}$ ，『振幅』為 $A$ 的週期運動。

從『因次分析』的觀點來看簡諧振子的位移 $x(t) = A\cos\left( \omega t+\phi\right)$
，因為 $\cos x$ 是『超越函數』Transcendental function，不可能表達成『有限項的多項式』，假使變數 $x$ 是由多個『物理量』構成的，最終一定得是『無因次』的『純量』。由於只有『相同因次』的物理量才能相加，所以只需考察一下 $\cos x$ 的『泰勒級數』 Taylor series 展開式

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad \forall x$

就能知道。這也就是解之中以 $\omega t = 2 \pi \frac{t}{T}$ 形式出現的因由。其實『時間』 $t$ 用著這個物理系統的『周期』特徵 $T$ 為『單位』來度量，藉著『無因次參數』更能自然表達這個『物理系統』基本性質。因此將『受驅振子』使用『參數』改寫成

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 x = \frac{F(t)}{m}$ ，此處 $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ 稱為『無阻尼』角頻率，而 $\zeta = \frac{c}{2 \sqrt{mk}}$ 叫做『阻尼比率』。

就彰顯了系統的『物理性質』，以及那些『物理參數』的『物理意義』。一八九二年英國物理學家約翰‧斯特拉特‧第三代瑞利男爵 John Strutt, 3rd Baron Rayleigh 在《On the question of the stability of the flow of liquids》使用『因次分析』方法『啟發式論證』某些物理量之間的關係，方使得因次分析之法廣為人知。

就讓我們藉著『單擺』說明因次分析的方法吧！

假使我們『揣想』這的『單擺』會是某種『周期運動』，因此那個周期 $T$ 就可能用著『相依』於系統的物理量 $m, l, g$ 的組合，如果用數學式表達為 $T = F(m, l, g)$ ，這樣 $F(m, l, g)$ 的因次必須是『時間』，假設 $F$ 中的一般項是 $m^{a_1} \cdot l^{a_2} \cdot g^{a_3}$ ，於是
$T = M^{a_1} \cdot L^{a_2} \cdot {(L \cdot T^{-2})}^{a_3}$
，將各個『因次』求解後得到 $a_1 = 0, \ a_2 = \frac{1}{2}, \ a_3 = - \frac{1}{2}$