每日彙整: 2014-09-17

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【Sonic π】聲波之傳播原理︰原理篇《四中》

何謂『線性系統』？ 假使從『系統論』的觀點來看，一個物理系統 S，如果它的『輸入輸出』或者講『刺激響應』滿足

設使 I_m(\cdots, t) \Rightarrow_{S} O_m(\cdots, t)，I_n(\cdots, t) \Rightarrow_{S} O_n(\cdots, t)，

那麼\alpha \cdot I_m(\cdots, t) + \beta \cdot I_n(\cdots, t) \Rightarrow_{S} \alpha \cdot O_m(\cdots, t) + \beta \cdot O_n(\cdots, t)

也就是說一個線線系統︰無因就無果、小因得小果，大因得大果，眾因所得果為各因之果之總計。

如果一個線性系統還滿足

\left[I_m(\cdots, t) \Rightarrow_{S} O_m(\cdots, t)\right] \Rightarrow_{S} \left[I_m(\cdots, t + \tau) \Rightarrow_{S} O_m(\cdots, t + \tau)\right]

，這個系統稱作『線性非時變系統』。系統中的『因果關係』是『恆常的』不隨著時間變化，因此『遲延之因』生『遲延之果』 。線性非時變 LTI Linear time-invariant theory 系統論之基本結論是

任何 LTI 系統都可以完全祇用一個單一方程式來表示，稱之為系統的『衝激響應』。系統的輸出可以簡單表示為輸入信號與系統的『衝激響應』的『卷積』Convolution 。

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雖然很多的『基礎現象』之『物理模型』可以用  LTI 系統來描述。即使已經知道一個系統是『非線性』的，將它在尚未解出之『所稱解』── 比方說『熱力平衡』時 ── 附近作系統的『線性化』處理，以了解這個系統在『那時那裡』的行為，卻是常有之事。

科技理論上偏好『線性系統』 ，並非只是為了『數學求解』的容易性，尤其是在現今所謂的『雲端計算』時代，祇是一般『數值解答』通常不能提供『深入理解』那個『物理現象』背後的『因果機制』的原由，所以用著『線性化』來『解析』系統『局部行為』，大概也是『不得不』的吧！就像『混沌現象』與『巨變理論』述說著『自然之大，無奇不有』，要如何『詮釋現象』難道會是『不可說』的嗎？？

一般物理上所謂的『疊加原理』 Superposition Principle 就是說該系統是一個線性系統。物理上還有一個『局部原理』Principle of Locality 是講︰一個物體的『運動』與『變化』，只會受到它『所在位置』的『周遭影響』。所以此原理排斥『超距作用』，因此『萬有引力』為『廣義相對論』所取代；且電磁學的『馬克士威方程式』取消了『庫倫作用力』。這也就是許多物理學家很在意『量子糾纏』的原因！俗語說『好事不出門， 壞事傳千里』是否是違背了『局部原理』的呢？？

蘇格蘭的哲學家大衛‧休謨 David Hume 經驗論大師，一位徹底的懷疑主義者，反對『因果原理』Causality，認為因果不過是一種『心理感覺』。好比奧地利‧捷克物理學家恩斯特‧馬赫 Ernst Mach  在《Die Mechanik in ihrer Entwicklung, Historisch-kritisch dargestellt》一書中講根本不需要『萬有引力』 之『名』與『因』，直接說任何具有質量的兩物間，會有滿足

m_1 \frac{d^2 {\mathbf r}_1 }{ dt^2} = -\frac{m_1 m_2 g ({\mathbf r}_1 - {\mathbf r}_2)}{ |{\mathbf r}_1 - {\mathbf r}_2|^3};\; m_2 \frac{d^2 {\mathbf r}_2 }{dt^2} = -\frac{m_1 m_2 g ({\mathbf r}_2 - {\mathbf r}_1) }{ |{\mathbf r}_2 - {\mathbf r}_1|^3}

方程組的就好了；他進一步講牛頓所說的『力』根本是『贅語』，那不過只是物質間的一種『交互作用』interaction 罷了！當真是『緣起性空。萬法歸一，一歸於宗。』的嗎？？

十八世紀時，法國的物理學數學家杜哈梅 Jean-Marie Duhamel 在解決『偏微分熱傳導方程式』時所發現的『求解辦法』，求解過程使用著物理上『因果原理』，今天稱之為『杜哈梅原理』是一種求解『非齊次線性常微分方程式』的方法。就讓我們藉此方法，換個方式深化理解『波傳播』的現象的『物理解釋』。

首先引用《【Sonic π】聲波之傳播原理︰原理篇《三》》一文中的『彈簧鏈模型』

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假使位於 u(x+h) 處質點除了受到了 F_{Newton} , \ F_{Hooke} 之力，還遭受到外力 F(x, t)，因此

m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)] + F(x, t)

它可以用整個物理系統的常量 L, M, K 將上式改寫為

{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^2} + {L \over {M h}} F(x, t)

這個系統的波動方程式為

{\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}= c^2{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 } + f(x, t)

此處波速 c = \sqrt {\frac{{KL^2 }}{M}}，f(x, t) 是每單位線段質量的所受之力，因次是『加速度』。如果說這個彈簧鏈模型是『自然現象』的『適當』物理模型，那麼無論這根『弦』現在是在什麼樣的『物理狀態』，只要我們知道它的『初始狀態』── 位移和速度 ──

u(x,0)=u_0(x),\qquad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=v_0(x)

，這個方程式都該能『求解』。更廣義的講它也該能從任何 T 時刻的『物理狀態』

u(x,T)=u_T(x),\qquad \frac{\partial u}{\partial t}(x,T)=v_T(x)

來求解。假使設想此系統從 T 時刻『演化』到 T + dT 時刻，這時系統的『外力』f(x, t) 的『貢獻』就必須在求解裡『被加上』 ，由於這個外力的『作用』就是將此弦的速度改變了 f(x,T)dT，因此這『等同於』求解在 T 時刻『不受外力』波動方程式

\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0

，有一個如給定的『新始狀態』

u(x,T)=0,\qquad \frac{\partial u}{\partial t}(x,T)=f(x,T)dT

， 這個方程式的解就是，系統所受的外力 f(x, t)，在 T 至 T+dT 『時距』中的『貢獻值』

\left(\frac{1}{2c}\int_{x-c(t-T)}^{x+c(t-T)} f(\xi,T)\,d\xi\right) dT

，從『疊加原理』可以知道原先的『初始狀態』方程式的解是

u(x,t) = u_D(x,t) + \frac{1}{2c}\int_0^t\int_{x-c(t-T)}^{x+c(t-T)} f(\xi,T)\,d\xi\,dT

，也就是說它是系統『外力』 f(x, t) 從『初始時刻』T = 0 到『當下時刻』T = t 的『總作用量』，疊加上『假使沒有外力』作用情況下，系統『固有』的『傳播作用』 u_D(x,t) 在 T = t 的值，也 就是『達朗貝爾公式解』。至此我們也就可以用物理來解釋為什麼『波源』的『振動』和『波傳播』之現象間有著『難分難解』的關係。

科學技術的內容已經愈來愈『廣博且複雜』，那要如何『掌握』的呢？也許仔細思考『基本現象』，深入了解『基礎原理』，善用多種『學習工具』，培養『想像力』使之飛揚，終至於能舉一反三，又可聞一知十，其要點總在於『一以貫之』。