18 | 9 月 | 2014 | FreeSandal

如果我們將『受驅波動方程式』

${\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}= c^2{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 } + f(x, t)$

『初始狀態』── 位移和速度 ──

$u(x,0)=u_0(x),\qquad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=v_0(x)$

$u(x,t) = u_D(x,t) + \frac{1}{2c}\int_0^t\int_{x-c(t-T)}^{x+c(t-T)} f(\xi,T)\,d\xi\,dT$

$u_D(x, t) = \frac{1}{2}\left[u_0(x - c t) + u_0(x + c t)\right] + \frac{1}{2c} \int_{x - c t}^{x + c t} v_0(\xi) \, d\xi$

，與一個質量是 $m$ 受力為 $F(t)$ 的質點在 $x$ 軸上的『加速度運動』

$a = \frac {F(t)}{m} = f(t), \ x_0 =x(0), v_0 = \frac{dx}{dt}(0)$

$x(t) = x_0 + v_0 t + \int_0^t\int_0^T f(\xi)d\xi\,dT$

作個『項次對照』觀察之後，可以發現一個不受外力驅使的『波動傳播』，彷彿是一個『自由質點』依『初始狀態』作『慣性運動 』── 牛頓第一運動定律 ──，最主要的『差異』在於『波動』會自發的向『左右』傳播。比方講從『右向波』 $u_0(x - ct)$ 上看，假使一開始 $T = 0$ 就在『在波前』 $u_0(x)$ 的 $x_p$ 處作記號的『點』 $x_p$ ，它在 $T = t$ 的時刻會在 $x_p = x_p - 0_{initial} = \phi = x - ct = x_q - 0_{now} = x_q$ 的『當下處』 $x_q$ 之位置，也就是它們是說屬於『同一相位』 $\phi$ 的『波前』，由於『波前形狀』 $u_0(x_p) = u(\phi) = u(x -ct) = u_t(x_q)$ 對所有的『記號點』 $x_p$ 『相位相同』之點都『取值』一樣，所以可以說『右向波』是『保形的』；同理也能夠說明『左向波』 $u_0(x + ct)$ 也是『保形的』，因是之故當我們在『 $t^'$ 時刻』與『 $x^'$ 位置』來『觀察』這個波的時候，就會得到

$u(x^{'}, t^{'}) = \frac{1}{2}\left[u_0(x^{'} - c t^{'}) + u_0(x^{'} + c t^{'})\right] + \frac{1}{2c} \int_{x^{'} - c t^{'}}^{x^{'} + c t^{'}} v_0(\xi) \, d\xi$

。也就是說假使系統的『初始條件』使得那個波只能『向左』或者『向右』傳播，雖然在『均質無垠』不受系統外力的『介質』裡，更像是一個『勇往直前』的『保形自由波』，也難逃遇到『其他介質』時，『反射』與『折射』再度掀起『左右波瀾』。果真它是『身不由己』的嗎？？

當然一個『受驅之波』相似於『受力粒子』也會產生運動的『狀態改變』，然而就算『自由粒子』也不能不受約束『無窮加速』，更別說波的『傳播速度』本就是『受限的』，故在一般情況下，這個『波的演變』可能『極其複雜』，以至於『斑駁點點』，若想要『波瀾狀闊』還是很困難的了！更別說自然界又有『處處阻力』，宛如『受驅振子』外力『停歇』後，終將歸於『靜止』。以指撥弦欲求知音或許也只能夢寐以求的哇！！

假使從『因次分析』的觀點來看，向右波形 $u(\phi) = u(x - ct)$ 中 $\phi$ 的因次是『長度』，因此『通用解』的寫法恐非是適切的『物理表達式』。由於一個波的『頻率』 $\omega$ 、『波長』 $\lambda$ 和『速度』 $c$ 有一定的關係式︰ $c = \lambda \cdot \omega$ 。如果參考『單擺系統』的『時間』用『單擺週期』 $T = \frac{1}{w}$ 來度量，是一個『無因次純量』 $\frac{t}{T}$ ，那麼很自然的一個物理系統『空間』之『度量』，也應當用著該系統中的『長度物理量』，在此也就是那個波的『波長』 $\frac {x}{\lambda} = k \cdot x, \ k = \frac{1}{\lambda}$ 來表達， $\frac {x}{\lambda}$ 也是『無因次純量』。這樣向右波形就可以改寫成

$u^{'} = u^{'}(k x - \omega t), \ c = \frac{\omega}{k}$ 。

左圖是一些常見的波形，也就是 $u^{'}(\phi^{'})$ 對於相位 $\phi^{'}$ 的『函數圖形』。假使從『時刻』 $t_r$ 來觀看， $\phi^{'} = k ( x - x_r)$ ，此處 $x_r = \frac{\omega}{k} t_r$ ，就是此波的整體『空間樣態』。如果在『位置』 $x_p$ 作時察， $\phi^{'} = - \omega (t - t_p)$ ，此時 $t_p = \frac{k}{\omega} x_p$ ，也就是此波此處的『歷時形貌』，這就是一個波之『相位』的『時空觀』。因此更可以了解惠更斯所說『波前』的物理意義是以『時間』為軸，來描述波的『空間樣態』到底會如何『隨時變化』。

光的『色散現象』說明不同『頻率』的波，在一個『介質』裡傳播的『速度』可以不同，也就是說它們的『波長』不一樣。通常用色散關係
$\omega(k)= v(k)\ k$
表示。此處的 $v(k)$ 就是『波數』 $k$ 的『波速函數』。假使一個『波形』是由多個『頻率』組成，在『色散介質』中傳播，長時間來看大概很難『保形』的了。短時間的觀點來說，我們講那個『波包』wave packet 整體用著 $v_g = \frac {d \omega(k)}{dk}$ 的群速度在變化。左圖是深水『表面重力』波，圖中用著『紅點』表示『相速度』，以及『綠點』表示『群速度』。

那麼對於一個不產生色散的介質 $\omega(k)= c\ k$ 來講，各個頻率的成份波都跑得一樣快，這時

$v_p = \frac {\omega}{k} = c = \frac {d \omega}{dk} = v_g$

，也許將可以保其『形色』的了。色散現象引發了『光學系統』裡的『色差』，產生『透鏡工藝』中需要搭配不同『折射率』的『光學材料』，這是製作『好的透鏡』的重要條件之一。

駐波形成

在一輛長列『左行』的火車上有一個很長的『水槽』，上有一向右的『行進波』
$u(x, t) = A(x,\ t)\sin (kx - \omega t + \phi)$
，假使向左的火車與向右之水波速度相同，那麼一位站在月台的『觀察者』將如何描述那個『行進波』的呢？

如果觀察水由水龍頭注入水槽的現象，由於水在到達槽底前的流速『較快』，然而到達槽底後水的流速突然的『變慢』，因此會發生『水躍』Hydraulic jump 的現象，此時水之部份動能將轉換為位能，故而在槽底的液面形成『駐波』。這個現象在『河水』的『流速』突然『由快變慢』時也可能發生，因而有人能在『河裡衝浪』，他正站在『駐波』之上！！

那什麼是『駐波』的呢？比方說一個『不動的』stationary 介質中，向左的波 $u_l(k x + \omega t)$ 與向右的波 $u_r(k x - \omega t)$ 疊加後的『合成波』 $u_l +u_r$ ，在『特定』的『邊界條件』下，被『侷限』在一定『空間區域』內無法前進，因此稱為『駐波』。由於駐波不能傳播能量，它的能量將『儲存』在那個空間區域裡。駐波所在區域，『振幅為零』的點稱為『節點』或『波節』Node ，『振幅最大』的點位於兩『節點』之間，通常叫做『腹點』或『波腹』Antinode。

一根長度 $L$ 震盪的弦上，一個向右的簡諧波 $u_r = u_0 \sin(kx - \omega t)$ ，由於弦的兩頭固定，那個波在右端點也只能『反射』回來，形成了 $u_l = u_0 \sin(kx + \omega t)$ ，此時合成波 $u = u_l + u_r$ 是
$u\; = u_0\sin(kx - \omega t) + u_0 \sin(kx + \omega t)$
，可用三角恆等式簡化為
$u = 2 u_0\cos(\omega t)\sin(kx)$
。此時『時間項』與『空間項』分離，形成『駐波』。在 $kx = n \pi$ 時， $\sin(kx) = 0$ ，此處 $n$ 是整數，這就是『節點』；當 $kx = n \pi + \frac{\pi}{2}$ 時 $\parallel \sin(kx) = 1 \parallel$ ，也就是『腹點』。當然波長 $\lambda$ 就得滿足 $\lambda = \frac {L}{n \pi}$ 的邊界條件。