光的世界︰矩陣光學六己

事物可『相連』未必能有『關係』的乎?俗話說︰事不關己,關心則亂!此事與矩陣光學何干耶??也許下面文字可說明一二吧!!

或許有讀者會問『哲學』與『 pyDatalog 物件導向設計』有關嗎?值得花時間討論這種問題嘛!其實西方『理性主義』中之思辨精神也就是一種『□□方法學』。然而『方法學』不只一種,『思潮』也不只有一次,如是可以了解,下面這篇文章的『題旨』︰

DDandOO

或將知道『理念本身並不講話』,不同『詮釋』下也許『內容』可大不同。在面對『雲端大數據』新潮流時,勇闖新世界之先,能多作點準備罷了。假使真可以『比較哲學』,也許讀一段莊子,大概就能體會東方思辨以『生生取向』之大不同的吧︰

莊子》‧《大宗師

死 生,命也,其有夜旦之常,天也。人之有所不得與,皆物之情也 。彼特以天為父,而身猶愛之,而況其卓乎!人特以有君為愈乎己 ,而身猶死之,而況其真乎!泉涸,魚相與處於陸,相呴以溼,相濡以沫,不如相忘於江湖。與其譽堯而非桀,不如兩忘而化其道。夫大塊載我以形,勞我以生,佚 我以老,息我以死。故善吾生者,乃所以善吾死也。夫藏舟於壑,藏山於澤,謂之固矣。然而夜半有力者負之而走,昧者不知也。藏大小有宜,猶有所遯。若夫藏天 下於天下,而不得所遯,是恆物之大情也。特犯人之形而猶喜之,若人之形者,萬化而未始有極也,其為樂可勝計邪!故聖人將遊於物之所不得遯而皆存。善妖善 老,善始善終,人猶效之,又況萬物之所係,而一化之所待乎!

夫 道,有情有信,無為無形;可傳而不可受,可得而不可見;自本自根,未有天地,自古以固存;神鬼神帝,生天生地;在太極之先而不為高,在六極之下而不為深; 先天地生而不為久,長於上古而不為老。豨韋氏得之,以挈天地;伏犧氏得之,以襲氣母;維斗得之,終古不忒;日月得之,終古不息;堪坏得之,以襲崑崙;馮夷 得之,以遊大川;肩吾得之,以處太山;黃帝得之,以登雲天;顓頊得之,以處玄宮;禺強得之,立乎北極;西王母得之,坐乎少廣 ,莫知其始,莫知其終;彭祖得之,上及有虞,下及五伯;傅說得之,以相武丁,奄有天下,乘東維,騎箕尾,而比於列星。

── 摘自《勇闖新世界︰ 《 pyDatalog 》【專題】之物件導向設計 ‧三

 

上篇『等效薄透鏡』說法,實則美矣!不過並未提及『節點』 nodal point 與『節面』 nodal plane 在哪哩?事實上它和『主平面』以及『主點』重合,可以驗以通過『節點』【※主點】之任意光 (0, \theta) ,離開角度 \theta 不變而得知︰

\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\  - \frac{1}{f_{eff}} & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0  \\  \theta \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ \theta \end{array} \right)

如是對一個『厚透鏡』來說

  \left( \begin{array}{cc} 1 - \alpha &  \beta  \\ - \frac{1}{f} & 1 + \gamma \end{array} \right)

,此處

\alpha = \frac{(n - 1) d}{n R_1}\beta = \frac{d}{n}

\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + \frac{(n - 1) d}{n R_1 R_2} \right)\gamma = \frac{(n - 1) d}{n R_2}

主平面一

,這些點、面落在

p_1 = \frac{1 - D}{C} = \gamma f

p_2 = \frac{1 - A}{C} = - \alpha f

位置。

比較與『頂點』 vertex 度量對應之『前焦距』為 FFL = (1 + \gamma) f ,『後焦距』是 BFL = (1 - \alpha) f 的了。因此 f 就是 f_{eff} 的矣! !然而實務上即使知道了一光學系統之『前焦距』與『後焦距』,由於尚有 \alpha\gammaf 三個參數,且無法決定 f_{eff} 的 呦??

但思『焦、焦』面『參考系』︰

牛頓成像公式

 

可用牛頓成像公式︰

x \cdot x' = FFL * BFL

假使考察『薄透鏡』之『焦、焦』面矩陣形制︰

\left( \begin{array}{cc} 1 & f \\  0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\  - \frac{1}{f} & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & f \\  0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 0 & f \\ - \frac{1}{f} & 0 \end{array} \right)

成像條件可以推導為︰

\left( \begin{array}{cc} 1 & x' \\  0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 0 & f \\  - \frac{1}{f} & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & x  \\  0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} - \frac{x'}{f} & f - \frac{x' x}{f} \\ - \frac{1}{f} & - \frac{x}{f}  \end{array} \right)

\therefore x x' = f^2

那麼當 x = x' = f 時,放大率等於1 ,如此當可確定 f 的吧 !!??

不知『厚透鏡』的『焦、焦』面矩陣形制是否也如此的呢???

pi@raspberrypi:~ ipython3 Python 3.4.2 (default, Oct 19 2014, 13:31:11)  Type "copyright", "credits" or "license" for more information.  IPython 2.3.0 -- An enhanced Interactive Python. ?         -> Introduction and overview of IPython's features. %quickref -> Quick reference. help      -> Python's own help system. object?   -> Details about 'object', use 'object??' for extra details.  In [1]: from sympy import *  In [2]: from sympy.physics.optics import FreeSpace, FlatRefraction, ThinLens, GeometricRay, CurvedRefraction, RayTransferMatrix  In [3]: init_printing()  In [4]: f, z, α, β, γ = symbols('f, z, α, β, γ')  In [5]: 厚透鏡 = RayTransferMatrix(1 - α, β, -1/f, 1 +γ)  In [6]: 厚透鏡 Out[6]:  ⎡-α + 1    β  ⎤ ⎢             ⎥ ⎢ -1          ⎥ ⎢ ───    γ + 1⎥ ⎣  f          ⎦  In [7]: 前焦平面 = RayTransferMatrix(1, (1 + γ) * f, 0, 1)  In [8]: 前焦平面 Out[8]:  ⎡1  f⋅(γ + 1)⎤ ⎢            ⎥ ⎣0      1    ⎦  In [9]: 後焦平面 = RayTransferMatrix(1, (1 - α) * f, 0, 1)  In [10]: 後焦平面 Out[10]:  ⎡1  f⋅(-α + 1)⎤ ⎢             ⎥ ⎣0      1     ⎦  In [11]: 厚透鏡 * 前焦平面 Out[11]:  ⎡-α + 1  f⋅(-α + 1)⋅(γ + 1) + β⎤ ⎢                              ⎥ ⎢ -1                           ⎥ ⎢ ───              0           ⎥ ⎣  f                           ⎦  In [12]: 後焦平面 * 厚透鏡 * 前焦平面 Out[12]:  ⎡ 0   f⋅(-α + 1)⋅(γ + 1) + β⎤ ⎢                           ⎥ ⎢-1                         ⎥ ⎢───            0           ⎥ ⎣ f                         ⎦  In [13]:  </pre>    果真f \cdot (1 - \alpha) \cdot (1 + \gamma) + \beta = f的嗎??!!  若知\frac{1}{f}可以表示成︰\frac{1}{f} = \frac{\alpha \gamma + \alpha - \gamma}{\beta}於是f \cdot (1 - \alpha) \cdot (1 + \gamma) + \beta= f \cdot \left[ (1 - \alpha) \cdot (1 + \gamma)  + \frac{\beta}{f} \right]= f \cdot  \left[ (1 - \alpha) \cdot (1 + \gamma)  +  \alpha \gamma + \alpha - \gamma \right]= f \cdot 1$

 

誠神奇焉!!!

反想從『焦、焦』面倒推『主平面』與『主點』位置,終究是一樣的吧☆