17 | 8 月 | 2018 | FreeSandal

《鞦韆曲》清‧鮑之蕙

芳園四壁花光聞，鞦韆動處朝霞飛。
美人妝成對花立，欲上不上嬌無力。
㩳身一舉穿林梢，流鶯驚起花旛搖。
翩然反側妙容與，隱隱紅潮上眉𡧃。
藕絲裙輭罥游蜂，杏子衫輕濕香雨。
拖煙約霧東風顛，珠翠彷彿雲中斬。
琤瑽仙珮潄嗚玉，蘭香萼綠相齊肩。
紅纏雪腕綵索勁，綠鬆雲髮金釵偏。
小鬢扶下日初轉，徙倚花陰息嬌喘。
栩栩魂猶夢蝶驚，行行足訝蒼苔輭。
美人會得春難駐，不放芳華等閒度。
來日清明風雨多，落紅滿地奈愁何。

盪鞦韆有道乎？

秋千搖蕩千秋已，
春暖花開打韆鞦。
不管己身有無力，
想方設法出枝頭。

借力使力之術而已耶？？

圓周運動的思路，帶給我們另一種考察『受驅振子』系統行為的觀點。在此再次引用《【Sonic π】聲波之傳播原理︰振動篇》一文中的方程式

頻率為 $\omega$ 的正弦驅動力

此時系統的方程式為

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 x = \frac{1}{m} F_0 \sin(\omega t)$

$F_0$ 是驅動力的振幅大小。在線性微分方程式如 $\hat{L} x(t) = F(t)$ 的『求解』裡，如過『 $\Box$ 』是 $\hat{L} x(t) = 0$ 的一個解，『 $\bigcirc$ 』是 $\hat{L} x(t) = F(t)$ 一個『特解』，那麼『 $c \ \Box + \ \bigcirc$ 』就是該方程是的『通解』。我們已經知道 $F(t) = 0$ 的『低阻尼振子』之解在若干個弛豫時間後數值將變得太小了，所以它對於系統長時間之後的『行為』沒有太多的貢獻。因此我們說這個系統的『穩態解』steady-state solution 是

$x(t) = \frac{F_0}{m Z_m \omega} \sin(\omega t + \phi)$ ，此處

$Z_m = \sqrt{\left(2\omega_0\zeta\right)^2 + \frac{1}{\omega^2}\left(\omega_0^2 - \omega^2\right)^2}$

是『響應阻抗』函數。而 $\phi$ 是驅動力引發的相位角，可由

$\phi = \arctan\left(\frac{\omega_0^2-\omega^2}{2\omega \omega_0\zeta}\right)$

所決定，一般它表達著相位『遲滯』 lag 現象。

從圓周運動觀點來看，力的最『有效運用』只在於『克服阻力』，不論對抗或者協同『虎克力』，就是要改變系統的『自然振動』之頻率，因此『頻率偏離』愈大愈『多勞少功』。 $\frac {|F_r|}{|F_t|}$ 一式就是這個度量，它在 $f = f_0$ 時為『零』。試著幫一個『盪鞦韆』的小女孩『越盪越快』，就可以體驗這和『越盪越高』是很不相同的一回事！！