每日彙整: 2014-11-19

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

【Sonic π】電聲學之電路學《四》之《二》

『萊布尼茲』之『微積分』建構想法，是『超實數』中『無窮小概念』的『原點』，也是『微積分』裡通常用的『積分符號』和『微分符號』由來，很值得一探淵源，特別在此摘錄︰

According to Leibniz’s notebooks, a critical breakthrough occurred on November 11, 1675, when he employed integral calculus for the first time to find the area under the graph of a function y = ƒ(x). He introduced several notations used to this day, for instance the integral sign ∫ representing an elongated S, from the Latin word summa and the d used for differentials, from the Latin word differentia. This cleverly suggestive notation for the calculus is probably his most enduring mathematical legacy. Leibniz did not publish anything about his calculus until 1684.

【Law of Continuity】Robinson’s hyperreals Transfer Principle

Leibniz expressed the law in the following terms in 1701:

In any supposed continuous transition, ending in any terminus, it is permissible to institute a general reasoning, in which the final terminus may also be included (Cum Prodiisset).

In a 1702 letter to French mathematician Pierre Varignon subtitled “Justification of the Infinitesimal Calculus by that of Ordinary Algebra,” Leibniz adequately summed up the true meaning of his law, stating that “the rules of the finite are found to succeed in the infinite.“

The Law of Continuity became important to Leibniz’s justification and conceptualization of the infinitesimal calculus.

【Transcendental law of homogeneity】

The transcendental law of homogeneity (TLH) is a heuristic principle enunciated by Gottfried Wilhelm Leibniz most clearly in a 1710 text entitled Symbolismus memorabilis calculi algebraici et infinitesimalis in comparatione potentiarum et differentiarum, et de lege homogeneorum transcendentali (see Leibniz Mathematische Schriften, (1863), edited by C. I. Gerhardt, volume V, pages 377-382). Henk J. M. Bos describes it as the principle to the effect that in a sum involving infinitesimals of different orders, only the lowest-order term must be retained, and the remainder discarded. Thus, if a is finite and dx is infinitesimal, then one sets

a + dx = a.

Similarly,

u \ dv + v \ du + du \ dv = u \ dv + v \ du,

where the higher-order term du dv is discarded in accordance with the TLH. A recent study argues that Leibniz’s TLH was a precursor of the standard part function over the hyperreals.

δx

無窮小數 \delta x

∞

無限大符號 \infty

\delta x \neq 0 闡述著一個『無窮小』數的重要概念，它不是『零』。『無窮小』數的『計算』滿足『代數法則』，因此 \frac{1}{\delta x} 是有意義的數，它是一個『巨量』。然而 \frac{1}{0} 在數學裡『無定義』，所以在『超實數』中也一樣『無定義』。正『無窮小』數是講︰它比任何給定的『正數』 ── 有限量 ── 都要小；對偶的說︰正『巨量』它比任何給定的『正數』 都要大。『無限大符號』 \infty 並不滿足數學上的『代數法則』，因是稱之為『非量』，因而必須要與『巨量』的『概念』作區別。

這個『非限定』的『大』與『小』之『概念』，使得『無窮小』數在『定義』上就不符合『實數』的『阿基米德法則』 ── 任何有限量的積累，都可以大過任意給定的數 ──。也是溝通現行標準『微積分』中『極限觀』之『關鍵點』。為求在『實務計算』中的掌握，又利於『觀念釐清』，就讓我們略為說明這兩者的關係。

『數列』 a_k, \ k = 1 \cdots n 是一個『基礎概念』，不論這些『數項』 a_k 是由『公式』 a_k = \frac{1}{k}, k=1 \cdots n 、『遞迴關係』 a_{k+1} = 3 a_k + 2, \ a_0 = 1 或是『選擇建構』  \sqrt{2} = 1 . a_1a_2a_3\cdots a_n，當我們記成 \lim \limits_{n \to \infty} a_n = L，『直覺上』來講這個『數列』 a_k 的值越來越接近 L，用標準『分析術語』可以如此『定義』︰

對於『所有的』正實數 \epsilon > 0，都『存在』一個『自然數』 N  ，只要 n > N，都可以得到 \Longrightarrow | a_n - L | < \epsilon。

仔細考察這個『定義』，分解的說【『所有的』正實數 \epsilon > 0】是講用 \epsilon 來指定與 L 要多麼接近；【都『存在』一個『自然數』 N】是講針對『那個指定的 \epsilon』能夠找到一個 N 使得

n > N \Longrightarrow | a_n - L | < \epsilon

，因此如果『邏輯上』要反對『數列』 a_k  的『極限值』是 L 的話，只需要指出【有一個 \epsilon 存在，找不到任何一個 N】能讓【n > N \Longrightarrow | a_n - L | < \epsilon】成立，換句話說【n > N】與【| a_n - L | \geq \epsilon】同時成立。比方說『重複』 1, 0, -1, 0 形成一個『無限數列』，由於它像個『三角波』，1, 0, -1 一再的『循環』出現，因此沒有『極限值』，這時取 \epsilon = \frac{1}{2}，都會有 | a_{k+1} - a_{k} | = 1 \geq \epsilon = \frac{1}{2}，所以就證明了它沒有極限值。

假使用『超實數』來表達『極限』，可以表示為

\lim \limits_{n \to \infty} a_n = \operatorname{st}(a_H)

，此處 H 是『巨量』， a_H 表達遙遠的『數列項』。一個數列的『極限值』就可以定義成 n \approx H \Longrightarrow a_H \approx L。這個『表達式』傳達了原本的『直觀』之精神，從『巨量』 H 是『未限定』的『大』來看 n \approx H，就是說【n > N】，而 a_H \approx L 是說 a_H 將『無限的』逼近 L，也就是說 | a_H - L | = \delta 是『無窮小』數。這樣前述的『發散數列』就可以這麼論證，考慮 a_H 的『鄰域』 \{ \cdots , a_{H-2}, a_{H-1}, a_H, a_{H+1}, a_{H+2}, \cdots \} = \{ 1, 0, -1 \}，並不存在一個『唯一』的『收斂值』，因此那個數列是『發散的』。這或許是更『簡潔明白』的吧！從『計算觀』也許更能夠說明這兩種『觀點』的『差異』，舉例來說求 \lim \limits_{n \to \infty} \frac{2 n^2}{(n+3)(n-2)} 的『極限值』，如果用『極限觀』，我們需要先『揣想』那個『極限值』 L，然後用『極限定義』證明這個 L 就是那個『數列』的『極限值』。假使用『超實數』的話，因為『巨量』滿足『代數法則』，因此

\lim \limits_{n \to \infty} \frac{2 n^2}{(n+3)(n-2)} = st \left[ \frac{2 H^2}{(H+3)(H-2)} \right] = st \left[ \frac{2 }{(1+\frac{3}{H})(1-\frac{2}{H})} \right] = 2

。在此我們『直接計算』那個『極限值』，只要它不屬於 \infty \cdot 0 這類的『未定式』，計算的結果就『確證』這個『極限值』的了！！

即使是『多個參數』的『極限值』的『計算法則』也是相同的，比方說 \lim \limits_{a \to 2, b \to 1} \frac{a - b}{a + b} = st \left[ \frac{(2 + \delta a) - (1 + \delta b)}{(2 + \delta a) + (1 + \delta b)} \right] = st \left[ \frac{1 + (\delta a - \delta b)}{3 + (\delta a + \delta b)} \right] = \frac{1}{3}。『無窮小加減無窮小』依然是『無窮小』，所以得到了那個 \frac{1}{3}。一個長方形的面積是『長』 l 乘以『寬』 w，如果它的『長』 l + \delta l 和『寬』 w + \delta w 都增加了『一點點』，那麼它的面積將增加 \delta (l \cdot w) = (l + \delta l) (w + \delta w) - l \cdot w = l \delta w + w \delta l + \delta l \cdot \delta w，然而 \frac{ \delta l \cdot \delta w}{\delta l} = \delta w \approx 0 與 \frac{ \delta l \cdot \delta w}{\delta w} = \delta l \approx 0 說明了『\delta l \cdot \delta w』這個『高階項』是一種『更小』的『無窮小』等級，因此相較於 \delta l 和 \delta w 可以忽略不計，這就是『萊布尼茲』所說的『同種先驗定律』 Transcendental law of homogeneity，這在『超實數擴張』中意指『無窮小』是有『等級的』；反過來說『巨量』也是有『等級的』。

同樣的一個『實數函數』f(x) 在某一點 c 的『極限值』如果是 L，記作

\lim \limits_{x \to c} f(x) = L

，從『標準分析』來講，就是大名鼎鼎的『(\epsilon , \delta)』極限觀，它如是說，對於『所有的』正實數 \epsilon > 0，都『存在』一個『正實數』  \delta > 0  ，只要 0 < | x - c | < \delta，都可以得到 \Longrightarrow | f(x) - L | < \epsilon。

從這個『定義』中的 0 < | x - c | < \delta 來看， x 屬於『開區間』 (c - \delta, c + \delta) - \{c\} = (c - \delta, c) \bigcup (c, c + \delta)，如此我們可以考察『從左邊逼近』(c - \delta, c) 的『左極限』  L^{-} 和『從右邊逼近』 (c, c + \delta) 的『右極限』  L^{+}。同時也『釐清』了，當我們談一個『函數』在某一點 c 的『極限值』時，跟這個『函數』在 c 這一點有沒有『定義』或者說它『取不取值』 f(c) 沒有關係！也就是說『極限值』所談的是 c 點的『鄰域』，基本上不包括 c 點的啊！當然假使這個『函數』的『極限值』存在，它不應該依賴『逼近的方向』，也就是說 L = L^{-} = L^{+} 的吧！有時候我們會以為如果一個『函數』在某一點的『極限值』存在，那麽它在那一點該會是『連續的』，事實上並非如此，比方說 \lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin{(x)}}{x} = 1，但是 x = 0 時，這個『函數』是 \frac{0}{0} 的形式，根本就沒有『定義』的啊！！

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左極限

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右極限

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極限變化

不僅如此，一族『連續函數』的『極限』，可能是『不連續』的『函數』。 舉個例子來說， \cos{(\pi x)}^2 既使在 x = 0 或者說 x = \pm 1 都是『連續的』，可是當 f(x)=\lim \limits_{n\rightarrow\infty} \cos (\pi x)^{2n} 之時， 此刻如果那個 x 是『整數』 n 的話，它就不會是『連續的』了！這是為什麼呢？ 因為 0 \leq {\cos{(x)}}^2 \leq 1，只要『稍稍偏離』了 n \pi ，它就是『小於一』的了，而『小於一』的數越自乘越小，所以『逼近於零』，因此就成了一堆『零壹』之『突點』的了！這就闡明了『極限』與『連續性』的『深刻關係』，也許並不像『表面』所見的『簡單易解』，這個『概念』所意圖『闡釋』的『事理』，可能還有待『深入釐清』的哩！！