每日彙整: 2014-11-17

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

【Sonic π】電聲學之電路學《四》之《一》

在《λ 運算︰淵源介紹》一文中，我們談過『函數』 y = f(x) = x^2 中的『變數』 x 是『虛名的』，它是函數『定義域』的『輸入值』，而那個 y 是函數『對應域』之『輸出值』。這個『函數』是由『計算規則』 \Box^2 來確定的，把它叫做 f(x) 或者 g(w), \ z = g(w) = w^2 都指相同的『函數』，因此『函數』就其『抽象定義』來講是『匿名的』。於是所謂的『命名』也只是方便『指稱』或『分別』不同的『函數』罷了！當一個『函數』 F 的『定義域』中的『元素』h 也是『函數』時，此時就很容易發生了『混淆』，它是指一個『定義域』是『變數』 x 的『複合函數』 H = F \circ h, \ H(x) = F(h(x))，還是指『定義域』是『函數』 h(x)  之『泛函數』 functional 的呢？比方說 H(t) = \int_{0}^{t} h(x) dx，也許最好將此類的『泛函數』稱之為『泛函式』較好。如此當一個含有『未知函數』或者『隱函數』的『複合函數』之方程式被叫做『 泛函數方程式』Functional equation 時，也就能夠作個清楚『區分』的了！！

那麼『 泛函數方程式』有什麼『重要性』的嗎？就讓我們從一個『例子』開始談吧︰

f(x + y) = f(x) \cdot f(y)

。就是說有個『未知函數』 f  將『定義域』中『兩數的加法』 x + y 轉換成了『對應域』裡『兩數之乘法』  f(x) \cdot f(y)。這個『未知函數』的『整體性質』就由這個『方程式』來決定，比方講，這個函數 f(0) = 1，為什麼呢？因為 f(0) = f(0 + 0) = f(0) \cdot f(0) = {f(0)}^2，所以 f(0) = 0 或 f(0) = 1，又為什麼不取 f(0) = 0 的呢？因為如果取  f(0) = 0 的話，f(x) = f(x + 0) = f(x) \cdot f(0) = 0 只是個『零函數』罷了，一般叫做『平凡解』 trivial solution，雖然它為了『完整性』不能夠『被省略』，然而這個解『太顯然』的了 ── 0 + 0 = 0 \cdot 0，似乎不必『再說明』的吧！不過有時這種『論證』的傳統給『初學者』帶來了『理解』的『困難』，故此特別指出。要怎麼『求解』 泛函數方程式的呢？一般說來『非常困難』，有時甚至可能無法得知它到底是有『一個解』、『多個解』、『無窮解』或者根本就『無解』！！近年來漸漸的產生了一些『常用方法』，比方講『動態規劃』 Dynamic programming 中使用『分割征服』的『連續逼近法』或是將原方程式『變換』成適合『定點迭代法』等等。在此我們將介紹『無窮小分析』的『應用』，談一點對於一個『平滑函數』 f(x) 來說，可以如何『思考』這種方程式的呢？由於 f(x) 是『平滑的』，因此 f(x) 它『可微分』，『導數』 f^{\prime}(x) 存在而且『連續』，那麼 f(x + \delta x) 就可以表示為

f(x + \delta x) = f(x) + f^{\prime}(x) \cdot \delta x + \epsilon \cdot \delta x

，此處 \delta x \approx 0 \Longrightarrow \epsilon \approx 0。由於 f(x + y) = f(x) \cdot f(y)，可得 f(x + \delta x) = f(x) \cdot f(\delta x)，因此 f(x + \delta x) = f(x) \cdot f(\delta x) = f(x) + f^{\prime}(x) \cdot \delta x + \epsilon \cdot \delta x，所以

\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{f(\delta x) - 1}{\delta x} - \epsilon

。因為 f(x) 是『平滑的』，那麼 \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} 將存在且連續，然而 \frac{f(\delta x) - 1}{\delta x} - \epsilon 與『變數』 x 無關，於是當 \delta x \approx 0 時，必定是某個『常數』 constant ，將之命作 k，如此那個『 泛函數方程式』就被改寫成了『微分方程式』

f^{\prime}(x) = k \cdot f(x), \ f(0) = 1

。它的『解』是 f(x) = e^{k \cdot x}, \ k \neq 0，為什麼 k \neq 0 的呢？因為此時 f^{\prime}(x) = 0，將會得到 f(x) 是個『常數函數』，這就是前面說的那個『平凡解』 的啊！！

乍一看，這個『解法』果真『奇妙』，竟然變成了『微分方程式』的了！假使細察 f(x + y) = f(x) \cdot f(y) 可說是『函數』 f(x) 的『大域性質』，但是 f(x + \delta x) = f(x) + f^{\prime}(x) \cdot \delta x + \epsilon \cdot \delta x 卻描述『函數』 f(x) 之『微觀鄰域』，將此兩者合併考慮，果真是『可以的』嗎？如果說一個函數的『大域性質』自然『含括』 \Longrightarrow 了它的『微觀鄰域』之『描述』，由於它是一個『平滑的』函數，那麼『微觀鄰域』的『微分方程式』難道不能『整合』 integrate \Longrightarrow 成那個『大域性質』的嗎？

一八二一年，法國數學家『柯西』曾經考慮了一個現今稱為『柯西函數方程』 Cauchy’s functional equation 的『加性函數』additive functions f(x + y) = f(x) + f(y)。假使 x, y 都是『有理數』，可以證明 f(x) = c \cdot x，這個『函數族』是它的『唯一解』。同時『柯西』也證明了︰如果 f(x) 是一個『實數』的『連續函數』，那麼 f(x) = c \cdot x 這個『函數族』也是它的『唯一解』。要是對於『實數函數』 f(x) 不加上任何『限制條件』，一九零五年，德國數學家 Georg Hamel 證明了它可以有『無窮解』。在此我們僅再次的『演示』如何用『無窮小分析』來『求取』這個『加性函數』的『平滑解』︰

f(x + \delta x) = f(x) + f(\delta x)

f(x + \delta x) = f(x) + f^{\prime}(x) \cdot \delta x + \epsilon \cdot \delta x，於是

f(x) + f(\delta x) = f(x) + f^{\prime}(x) \cdot \delta x + \epsilon \cdot \delta x，所以

f^{\prime}(x) = \frac{f(\delta x)}{\delta x} - \epsilon，因此

f^{\prime}(x) = c = constant

，再從 f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) 可得 f(0) = 0，如是就得到了 f(x) = c \cdot x 這個『函數族』。

如果從『恆等式』identity 的『觀點』來看，『 泛函數方程式』可以看成是『泛函數恆等式』 functional identities，就像{[\sin{x}]}^2 + {[\cos{x}]}^2 = 1 這個 『三角恆等式』一樣，假使我們藉由上式將 \sin{(x + y)} = \sin{(x)} \cos{(y)} + \cos{(x)} \sin{(y)} 恆等式改寫成 \sin{(x + y)} = \sin{(x)} \sqrt{1 - {[\sin{y}]}^2} + \sqrt{1 - {[\sin{x}]}^2} \sin{(y)}，儼然是一個『 泛函數方程式』的了！因此我們也可以用『相同』的『觀點』將『微分方程式』看成是一種『泛函數恆等式』，進一步『明白』即使『不求解』那個方程式，我們依然能夠藉之得到有關『解函數』的許多重要有用的『資訊』的啊！！

之前我們曾用『均值定理』

一個實數函數 f 在閉區間 [a, b] 裡『連續』且於開區間 [a, b] 中『可微分』，那麼一定存在一點 c, \ a < c < b 使得此點的『切線斜率』等於兩端點間的『割線斜率』，即 f^{\prime}(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}。

論證了『劉維爾定理』。這個『均值定理』的重要性在於，它將一個『連續』而且『可微分』的『函數』的『區間端點割線』與『區間內切線』聯繫了起來，使我們可以『確定』一個『等式』的『存在』。就讓我們再舉一個『對數性函數』 f(x \cdot y) = f(x) + f(y) 的例子，看看它的『運用』吧。首先 f(1) = f(1 \cdot 1) = f(1) + f(1) \Longrightarrow f(1) = 0，其次 f(x \cdot \frac{1}{x}) = f(1) = 0 = f(x) + f(\frac{1}{x}) \Longrightarrow f(\frac{1}{x}) = - f(x)，所以 f(\frac{x}{y}) = f(x \cdot \frac{1}{y}) = f(x) + f(\frac{1}{y}) = f(x) -f(y)。因此

f(x + \delta x) - f(x) = f(\frac{x + \delta x}{\delta x}) = f(1 + \frac{\delta x}{ x})

= f^{\prime}(\eta) \left[(1 + \frac{\delta x}{x}) - 1 \right], \ \eta \in (1, 1 + \delta x)

= f^{\prime}(\eta) \frac{\delta x}{x}

，為什麼呢？因為 f(x) 在『閉區間』 [1, 1 + \delta x]是『平滑的』，按照『均值定理』，存在一個 \eta \in (1, 1+ \delta x) 使得

f^{\prime}(\eta) = \frac{f( 1 + \frac{\delta x}{ x}) - f(1)}{(1 + \frac{\delta x}{x}) - 1} = \frac{f( 1 + \frac{\delta x}{ x})}{ \frac{\delta x}{x}}。

\therefore f(x + \delta x) = f(x) + f^{\prime}(\eta) \frac{\delta x}{x} = f(x) + f^{\prime}(x) \cdot \delta x + \epsilon \cdot \delta x，於是我們可以得到

f^{\prime}(x) = \frac{f^{\prime}(\eta)}{x} - \epsilon，也就是說『函數』 f(x) 滿足

f^{\prime}(x) = \frac{k}{x} , \ f(1)= 0, \ k= f^{\prime}(1)。

它的『解』果真就是 f(x) = k \ln{(x)} 的啊！！