每日彙整: 2014-11-20

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

【Sonic π】電聲學之電路學《四》之《三》

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x \in I = (c-\delta,c+\delta) - \{c\} \Longrightarrow
f(x) \in (L-\epsilon, L+\epsilon)
f(I) \subseteq (L-\epsilon, L+\epsilon)

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y = f(x) : X \rightarrow Y
x \in U \Longrightarrow f(x) \in V
f(U) = \{f(x) | x \in U\} \subseteq V

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疊套區間

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超實數連續體

一個『實數函數』f(x) 在某一點 c 的『極限值』假設是 L，可以記作 \lim \limits_{x \to c} f(x) = L，如果用『超實數』來『定義』就是 0 < | x - c| \approx 0 \Longrightarrow f(x) \approx L。 (\epsilon, \delta)  的『極限觀』假使從『空間度量』的觀點來看，任一個 \epsilon 所指定的是『函數』 f(x) 的『對應域』中的一個『開區間』 J = \{ z | \ |f(z) - L| < \epsilon\}，問著『定義域』中是否存在一個『開區間』 I = (c - \delta, c + \delta) - \{c\}，使得 f(I) = \{f(x) | x \in I\} \subseteq J。如果我們取 \epsilon = \frac{1}{N}，這些 J_N = \{ z | \ |f(z) - L| < \frac{1}{N} \} 將會『疊套逼近』於 L 點，然而 J_N 所對應的 I_N 卻未必然形成一個『收斂於』 c 點之『疊套區間』！這是為什麼的呢？考慮 f(x) = L，對於任何的 \epsilon > 0 來講，|f(x) - L| = 0 < \epsilon 必然的成立，於是這個函數的整個『定義域 』，都可以滿足『極限』的『定義』，此時 |x - c| < \delta 的那個 \delta 與 \epsilon 根本沒有關係，我們又要如何去說那個 I_N 的呢？也就是說 (\epsilon, \delta)  的『極限觀』是從『函數』的『對應域』或者說『值域』來論證『極限』的『存在性』。而『超實數』的『極限觀』 0 < | x - c| \approx 0 \Longrightarrow f(x) \approx L，是從『函數』的『定義域』直接探討『極限』的『存在性』。這兩個『觀點』果真能『互證』的嗎？從『超實數』的『極限觀』來看雖然前述所說的 I_N 可以有各種『選擇』， 自然就包含了 I^{\prime}_N = \{ x \ | \ 0 <| x - c| < \frac{1}{N} \} 這種選擇，因此依然是 x \approx c \Longrightarrow f(x) \approx L 的啊！

也就是說，如果我們用 (\epsilon, \delta) 『極限觀』下的 J_N = \{ z | \ |f(z) - L| < \frac{1}{N} \} 所對應的 I_N 構造一個『開區間』 I_N \bigcap I^{\prime}_N，那麼就有 x \in I_N \bigcap I^{\prime}_N \Longrightarrow \ |f(z) - L| < \frac{1}{N}，這就是『超實數』的『極限觀』 x \approx c \Longrightarrow f(x) \approx L。反過來說假使『超實數』的『極限觀』也可以證明 (\epsilon, \delta) 『極限觀』的話，這兩種『觀點』就在『邏輯』上『等價』，也就是說無論『擇取』那一種，就『實數分析』來講，所得到的『結論』，都是一樣的。就讓我們證明它的『對偶命題』吧︰如果否定 (\epsilon, \delta) 『極限觀』可以推導出否定『超實數』的『極限觀』。

假使有一個 \epsilon，對於所有的『正實數』 \delta，都有 0 < | x - c | < \delta 而且 | f(x) - L | \geq \epsilon。因此這個『陳述』對『疊套區間』 I^{\prime}_N = \{ x \ | \ 0 <| x - c| < \frac{1}{N} \} 而言也成立，也就是說 x \approx c 時 | f(x) - L | \geq \epsilon，這與 x \approx c \Longrightarrow f(x) \approx L 『矛盾』，於是否定了『超實數』的『極限觀』，所以『對偶命題』成立。為什麼我們採取證明『對偶命題』的呢？因為『所有的有一個』 \forall \epsilon \ \exists \delta 之類的『命題』是很難『直接論證』的，通常它的『否定命題』 \exists \epsilon \ \forall \delta 比較容易『論述』，於是我們如是選擇。事實上這也說明了『標準分析』為什麼常常讓初學者『頭大』的原因，以及『懷疑』真的能從『一點之鄰域』可以『議論』那個『極限值』的嗎？就像俗語說的︰千里來龍，在此結穴，就『無窮逼近』來講，所有的『有限量』無論它有多大，並不會改變這個『有限性』，因此總得越來越靠近所『論述』之『點』，然而儘管再近再近也都還未能到『無窮小』之『距離』，更不要講任何一個給定的有限『開區間』都能與整個『實數系』產生『一一對應』是屬於同等級的『無限大』。這就是雖然『直觀上』當 x 越來越靠近 c，要是 f(x) 不靠近 L，或者就『連續函數』來講 f(c) 難到是『可能的』嗎？如果從這裡的『等價證明』來說，這是『不可能的』！那麼假使一個『函數』 f(x) 在 x = 0 時有『定義』而且『連續』，就一個『無窮小數』 \delta x 而言， f(\delta x) - f(0) 能夠不是一個『無窮小數』 的嗎？？