當我們說『超實數體』 中的『無窮小』量『取消』了『實數』的『阿基米德性』時，這是針對一個『超實數』的『無窮小』量 部分說的，就像對一個『複數』 來講，只有『虛數部分』 ， 而 一樣。為什麼要取消呢？因為 的『倒數』 就是『無限大』，如果『無窮小』數滿足『阿基米德性質』的話，那麼就會有一個『夠大』的數 使得 ，於是 ，這就產生了『矛盾』的啊！在數學上常用著『歸謬證法』，並非總是因為人們不能夠『直接證明』某個『陳述』，故而採取『迂迴』的辦法，就像說因為已經定義了『有理數』是種『分數』，可以用兩個『整數』 表達成 的『形式』，因此如果一個數 『不是』有理數，將之稱作『無理數』，就是講 『不可能』表達成 的『形式』，於是要證明這個 是『無理數』，就轉變成了證明它『不可能』表達成 的『形式』，或者說『歸謬』的證明『假設』它『可以』表達成 的『形式』，就一定會產生『邏輯矛盾』的了。比方講『 是無理數』的證明

『假設』 是有理數，可以寫成無公因數的最簡分數 ，也就是 。所以， ，這樣 就一定是『偶數』，就說 吧，將它代入上式，得到 ，這樣 Q 也一定是『偶數』，於是和『假設』矛盾，因此證明了『結論』。

於是我們『明白』了 不是『有理數』，當然我們也就『知道』了無理數是『存在的』，只不過對 這個數所知甚少，連它的『近似』之大小都不知道。所以人們往往將這一類的『證明』稱之為『存在性證明』，彷彿有些些『貶義』，代表著所知並不夠深入﹐只能夠『知其一』未必就能『知其二』。要是人們可以『建構』出這個數，就『此建構』之同時證明了它的『不可能性』，似乎是『好的多』的吧！比方講從一個『恆等式』

，我們可以用『連分數』表達作

，我們也可以『證明』 是『無理數』，它的『證明』卻未必更『容易理解』。因此作者無意於此『優劣度』多作文章，祇是說『存在性證明』 之所以重要在於『確定』這個『論域』不是一個『空集合』 ∅ ，它至少有一個『元素』，也不是一種『虛構』。或許說當『已經知道』了就更容易找到其它『建構方式』也說不定的吧！！

一八四四年，法國大數學家『約瑟夫‧劉維爾』 Joseph Liouville 證明了『超越性』 ── 這是指任何一個不是『代數數』 algebraic number 的『無理數』，也就是說它不是任何『有理係數』方程式之『實數解』 ── ，他是第一個證實『超越數』 Transcendental number 之存在的人。據聞他曾經考慮過了這一個數 ，那麼『這一個數』是不是一個『有理數』的呢？假使就今日所知，如果一個實數 滿足，對任何正整數 ，都存在有整數 而言，其中 而且『定然』的會有 ，因此我們就將此數 叫做『劉維爾數』來講，那麼 這個數就『必然』不得不是一個『超越數』的了。然而一個『超越數』也就是一個『無理數』，而且它還是一個非『代數數』的『無理數』，或許說這也就是『建構方式』的重要性的吧！！

有人說很容易證明『劉維爾數』一定是個『無理數』。假使它不是一個『無理數』，那麼 。 要是取足夠大的 使得 ，在 時有

，因此就與它的定義發生矛盾。這樣『劉維爾常數』

是一個『建構的數』，假使 ，那麼對於所有正整數

。難道我們真的就能夠論斷它不只是個『無理數』，而且是一個非『代數數』的嗎？？