持續的從做中學習。

2014-12-21 懸鉤子

《莊子‧秋水》

公孫龍問於魏牟曰：『龍少學先王之道，長而明仁義之行；合同異，離堅白；然不然，可不可；困百家之知，窮眾口之辯；吾自以為至達已。今吾聞莊子之言，汒【茫】焉異【奇異】之。不知論之不及與，知【智】之弗若與？今吾無所開吾喙【嘴】，敢問其方【法】。』

公子牟隱機【几案】大【太】息，仰天而笑曰：「子獨【難道】不聞夫埳井之龜乎？謂東海之鱉曰：『吾樂與！出跳梁【踉】乎井幹【欄】之上，入休乎缺甃ㄓㄡˋ【壁磚】之崖；赴【偃】水則接腋持頤，蹶【跳】泥則沒足滅跗；還【回顧】虷【孑孓】蟹【螃蟹】與科斗【蝌蚪】，莫吾能若也。且夫擅【獨占】一壑之水，而跨【據】跱【峙】埳井之樂，此亦至矣，夫子【東海之鱉】奚不時來入觀乎！』東海之鱉左足未入，而右膝已縶【絆】矣。於是逡巡【遲疑】而卻【退】，告之海曰：『夫千里之遠，不足以舉其大；千仞之高，不足以極其深。禹之時十年九潦，而水弗為加益；湯之時八年七旱，而崖不為加損。夫不為頃久推移，不以多少進退者，此亦東海之大樂也。』於是埳井之龜聞之，適適【驚怖】然驚，規規【失貌】然自失也。

且夫知不知是非之竟【境】，而猶欲觀於莊子之言，是猶使蚊負山，商蚷【蚿蟲】馳河也，必不勝任矣。且夫知不知論極妙之言，而自適一時之利者，是非埳井之龜與？且彼【莊子】方跐【履】黃泉而登大【太】皇，無南無北，奭【釋】然四解【達】，淪【達到】於不測【不可測量】；無東無西，始於玄冥，反【返】於大通。子【公孫龍】乃規規然而求之以察，索【求】之以辯，是直用管闚天，用錐指地也，不亦小乎！子往矣！且子獨不聞夫壽陵餘子之學於邯鄲與？未得國能，又失其故行矣，直匍匐而歸耳。今子不去，將忘子之故，失子之業。」

公孫龍口呿【張口】而不合，舌舉而不下，乃逸【悄悄】而走。

約翰‧杜威 John Dewey

攝於一九一九年來華期間

杜威認為，創造充分的條件讓『學習者』去『經驗』是教育的『關鍵』。

那麼什麼是『經驗』呢？如果說『不得不』是『不想經驗』但免不了的『狀況』，那麼講『情境分析』或許是『參與式』之『體驗』的吧！因此從『人間世』之『主動』與『被動』的『經驗』來觀察『宇宙人生』之『學習』其所『不認識』的事物，也許正顯現著『大自然』的『智慧』與『慈悲』的吧！！

《左傳‧宣公十二年》中有︰

晉師在敖鄗之間，鄭皇戌使如晉師曰，鄭之從楚，社稷之故也，未有貳心，楚師驟勝而驕，其師老矣，而不設備，子擊之，鄭師為承，楚師必敗，彘子曰，敗楚服鄭，於此在矣，必許之。欒武子曰：楚自克庸以來，其君無日不討國人而訓之于民生之不易，禍至之無日，戒懼之不可以怠。在軍，無日不討軍實而申儆之，于勝之不可保，紂之百克，而卒無後，訓之以若敖，蚡冒，篳路藍縷，以啟山林，箴之曰，民生在勤，勤則不匱，不可謂驕，先大夫子犯有言曰，師直為壯，曲為老，我則不德，而徼怨于楚，我曲楚直，不可謂老，其君之戎，分為二廣，廣有一卒，卒偏之兩，右廣初駕，數及日中，左則受之，以至于昏，內官序當其夜，以待不虞，不可謂無備，子良，鄭之良也，師叔，楚之崇也，師叔入盟，子良在楚，楚鄭親矣，來勸我戰，我克則來，不克遂往，以我卜也，鄭不可從，趙括，趙同，曰，率師以來，唯敵是求，克敵得屬，又何俟，必從彘子，知季曰，原屏，咎之徒也。趙莊子曰，欒伯，善哉，實其言，必長晉國。

作者曾經聽到幼年時鄰里兄長問︰有哪個牌子的『mp3 播放器』比較好，兩年來或買了三個，都『不管用』？用一下子『就壞了』！然而作者『亦不知』，或由於作者『卻多言』！！………… 因是乎，有此『音樂播放器』之文的耶？？…………

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物理哲學·下

2014-12-20 懸鉤子

展示時間對稱性蹺蹺板
它最後將導向何方？？

物理系統的『時間對稱性』T-symmetry，是說『物理定律』在『時間反向變換』time reversal transformation $T: t \mapsto -t$ 下保持不變。比方說『牛頓第二運動定律』 $\vec{F} = m \frac{d}{d[-t]} \frac{d}{d[-t]} \vec{r} = m \frac{d}{dt} \frac{d}{dt} \vec{r}$ 具有『時間對稱性』。假使一個粒子從『初始態』 $(\vec{r_i} , \vec{p_i})$ 沿著軌跡往『終止態』 $(\vec{r_f} , \vec{p_f})$ 運動，如果『時間逆流』，此粒子將逆向由『終止態』 $(\vec{r_f} , \vec{p_f})$ 沿著軌跡向『初始態』 $(\vec{r_i} , \vec{p_i})$ 運動。

於是在『理化系統』中，就有了『微觀可逆性』原理︰

Corresponding to every individual process there is a reverse process, and in a state of equilibrium the average rate of every process is equal to the average rate of its reverse process.

。然而這個『微觀可逆性』原理，到了『巨觀世界』後，卻是與『熱力學』的『最大熵』 Maximum entropy 理論衝突。一八七二年時，玻爾茲曼提出了『 H 理論』︰

$H(t) = \int \limits_0^{\infty} f(E,t) \left[ \log\left(\frac{f(E,t)}{\sqrt{E}}\right) - 1 \right] \, dE$ ，此處 $f(E,t)$ 就是在 $t$ 時間的『能量分布』函數，而那個 $f(E,t) dE$ 是『動能』在 $E$ 與 $E+dE$ 間之『粒子數』。據聞，玻爾茲曼是想用著『統計力學』的辦法，能夠推導出『最大熵』 $S$ 的『不可逆性』。

馬克士威妖

可以如是描述成︰假使一個絕熱容器被分成兩塊，中間有『妖』所控制之『門』，那個容器中的『粒子』到處亂撞時，總會碰到『門』上，此『妖』喜歡將『快‧慢』之『粒子』分別為『兩半』，因此，其中的一半就會比另外一半的『溫度』要高。

由於更早五年前，『馬克士威』設想了一個『想像實驗』︰

… if we conceive of a being whose faculties are so sharpened that he can follow every molecule in its course, such a being, whose attributes are as essentially finite as our own, would be able to do what is impossible to us. For we have seen that molecules in a vessel full of air at uniform temperature are moving with velocities by no means uniform, though the mean velocity of any great number of them, arbitrarily selected, is almost exactly uniform. Now let us suppose that such a vessel is divided into two portions, A and B, by a division in which there is a small hole, and that a being, who can see the individual molecules, opens and closes this hole, so as to allow only the swifter molecules to pass from A to B, and only the slower molecules to pass from B to A. He will thus, without expenditure of work, raise the temperature of B and lower that of A, in contradiction to the second law of thermodynamics.

也就有人『Johann Loschmidt』反對玻爾茲曼的『 H 理論』之說法︰if there is a motion of a system from time t0 to time t1 to time t2 that leads to a steady decrease of H (increase of entropy) with time, then there is another allowed state of motion of the system at t1, found by reversing all the velocities, in which H must increase. This revealed that one of Boltzmann’s key assumptions, molecular chaos, or, the Stosszahlansatz, that all particle velocities were completely uncorrelated, did not follow from Newtonian dynamics.

這件事，聽說是由有『熱力學之父』之稱的『卡爾文男爵威廉‧湯姆森』 ── 絕對溫標的創造者 ── 最早所說的。其後一九二八年『 愛丁頓』在《The Nature of the Physical World》說到了現今大眾所知『時間之箭』一詞︰ Let us draw an arrow arbitrarily. If as we follow the arrow we find more and more of the random element in the state of the world, then the arrow is pointing towards the future; if the random element decreases the arrow points towards the past. That is the only distinction known to physics. This follows at once if our fundamental contention is admitted that the introduction of randomness is the only thing which cannot be undone. I shall use the phrase ‘time’s arrow’ to express this one-way property of time which has no analogue in space.

之後美國物理學家 Edwin Thompson Jaynes ，一生始終致力於推動『機率就是邏輯之擴展』，在他百年後，二零零三年， G. Larry Bretthorst 受其請託編輯了《Probability Theory: The Logic of Science 》一書，起頭其中有一段說︰

The thinking computer

Models have practical uses of a quite different type. Many people are fond of saying, “They will never make a machine to replace the human mind – it does many things which no machine could ever do.” A beautiful answer to this was given by J. von Neumann in a talk on computers given in Princeton in 1948, which the writer was privileged to attend. In reply to the canonical question from the audience (‘But of course, a mere machine can’t really think, can it?’), he said: You insist that there is something a machine cannot do. If you will tell me precisely what it is that a machine cannot do, then I can always make a machine which will do just that! In principle, the only operations which a machine cannot perform for us are those which
we cannot describe in detail, or which could not be completed in a finite number of steps.

也許到底『機率』是什麼？還有得說吧！！

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物理哲學·下中＋‧

2014-12-19 懸鉤子

創世記

第十三章

亞伯蘭帶著他的妻子與羅得，並一切所有的，都從埃及上南地去。亞伯蘭的金、銀、牲畜極多。他從南地漸漸往伯特利去，到了伯特利和艾的中間，就是從前支搭帳棚的地方，也是他起先築壇的地方；他又在那裡求告耶和華的名。與亞伯蘭同行的羅得也有牛群、羊群、帳棚。那地容不下他們；因為他們的財物甚多，使他們不能同居。當時，迦南人與比利洗人在那地居住。亞伯蘭的牧人和羅得的牧人相爭。亞伯蘭就對羅得說：你我不可相爭，你的牧人和我的牧人也不可相爭，因為我們是骨肉【原文作弟兄】。遍地不都在你眼前嗎？請你離開我：你向左，我就向右；你向右，我就向左。羅得舉目看見約但河的全平原，直到瑣珥，都是滋潤的，那地在耶和華未滅所多瑪、蛾摩拉以先如同耶和華的園子，也像埃及地。於是羅得選擇約但河的全平原，往東遷移；他們就彼此分離了。亞伯蘭住在迦南地，羅得住在平原的城邑，漸漸挪移帳棚，直到所多瑪。所多瑪人在耶和華面前罪大惡極。羅得離別亞伯蘭以後，耶和華對亞伯蘭說：從你所在的地方，你舉目向東西南北觀看；凡你所看見的一切地，我都要賜給你和你的後裔，直到永遠。我也要使你的後裔如同地上的塵沙那樣多，人若能數算地上的塵沙才能數算你的後裔。你起來，縱橫走遍這地，因為我必把這地賜給你。亞伯蘭就搬了帳棚，來到希伯崙幔利的橡樹那裡居住，在那裡為耶和華築了一座壇。

『創世紀』第十三章『亞伯蘭』以起先『築壇的地方』分別了『左‧右』，讓『羅得』來『選擇』。這就是今天稱之為『一分‧一擇』 I cut, you choose 的『公平分享』規範。舉例說，一人以他所認為的『公平』切蛋糕，讓另一人先作『選擇』。這也就是 Bruno de Finetti 所講的︰由此方來設定輸贏『前提』之『賠率』和『賭注』，讓彼方決定購買『前提』之『正反方』一樣。

那麼 Bruno de Finetti 所堅持的『主觀機率論』是什麼呢？他認為『機率』就是一個人對某『事件』發生之『相信度』評估，這是由那個人的『知識』、『經驗』以及『資訊』等等來決定。比方講，假使問多個人『印象派大師莫內的生日是十一月十五號的機率是多少？』。不知道『莫內是誰』的，可能認為是 $\frac{1}{365}$ ；過去聽說

克勞德‧莫內

印象‧日出

自己跟『莫內同星座』的也許以為 $\frac{1}{30}$ ；還有一個上網『谷歌』 Google 的說『機率是零』。所謂的『客觀機率』真的是存在的嗎？因此 Bruno de Finetti 的論點，自有不可忽視的重要性，更由於『量子力學』的『量測理論』將『觀察者』放進了『不確定性』框架中，這個『主‧客觀』的爭論，目前勢將持續進行下去的吧！在此僅用『亂數產生器』的『擬似』 Pseudo 與『真實』 Real 之說來看，人們真的有『判準』來『區分』這兩者的嗎？比方講，現今所相信的『真實』之『亂數產生器』來自於那些『隨機性』的『物理現象』；常用之『擬似』的『亂數產生器』可以從某種『計算式』 $X_{n+1} = (a X_n + b) \ \textrm{mod} \ m$ 裡得到。雖然說『已知』之『演算法』在『夠長的產生序列』後，難免於『重複再現』，要是真存在一個『演算法』，它的『再現所需時間』是『千百億年』的呢？那我們能『發現』它是有『公式』的嗎？？

過去『存在主義者』曾經議論說︰如果講『上帝』與『魔鬼』都具有『超越人』之『大能』，當下聽聞『敲門聲』，身為一個『人』，你又怎麽能夠知道『敲門者』是『上帝』還是『魔鬼』的呢！！

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物理哲學·下中…………

2014-12-18 懸鉤子

六個頂點之全部七十八種
朋友與陌生人 $K_6$ 圖

$K_5$ 沒有此性質

友誼定理 Friendship Theorem 如是說：

在一群人數多於三的群體中，假使任意兩人都恰有一個共同認識的朋友，那麼這群人中定有一人是所有人都認識的。

設想六個人的一個聚會，其中任兩人要不是初次見面，就是已經認識，一個稱作『Theorem on friends and strangers』這麼講︰In any party of six people either at least three of them are (pairwise) mutual strangers or at least three of them are (pairwise) mutual acquaintances.

為了證明這個定理，讓我們用『圖論』graph theory 的語言來將其改寫。那六個人稱作六個『頂點』vertice ，任兩個『頂點』 edge 之間的連『邊』，代表兩人關係，『紅色』意味是『陌生人』，『藍色』標示是『朋友』。如是此圖裡，任兩『頂點』都會有一『色邊』連接，這十五條『邊』不是『紅色』就是『藍色』，這在『圖論』中叫做 $K_6$ 『完全圖』。於是『朋友與陌生人定理』就被翻譯成了︰在一個 $K_6$ 的完全圖內，假使每邊任意塗上紅或藍色，必然會產生一個紅色或藍色的三角形。

證明︰

隨意選擇一個頂點 $P$ ，它可以有五條邊和其他頂點相連。由於只有兩種顏色，按照鴿巢原理，五條邊中至少有三條是同色的，就假設它是紅色的吧。也就是說 $P$ 以這三條紅色的邊連接到另外的三個頂點 $A, B, C$ ，如果這三個頂點間有一條邊是紅色的，那麼就會產生了一個紅色三角形。除非這三條邊都是藍色的，但是此時就會有一個藍色三角形 $A, B, C$ 的了。

『拉姆齊理論』說一個大的『有結構』物件的任意『分割』，總有一個『分割』保有那個『大結構』之『子結構』，雖然我們可以證明它的『存在性』，這個證明卻並未提供任何『建構』它的方法。因此一個夠大的看似『無序』的『集合』，常常可以『發現』某種『次序』在其中，讓人們訝異那可能是真的嗎！！這個『拉姆齊』生於劍橋，其父親是麥格達倫學院的校長，其弟麥可‧拉姆齊是第一百任坎特伯里大主教。他初於溫切斯特公學學習，後來進入劍橋大學三一學院學習數學。他的妻子說他是個『態度堅定的無神論者』。得年不到二十七歲的一生中，他涉獵了很多學術領域。據聞有一天，他和查爾斯‧凱‧奧格頓聊天時，說他想學德語。奧格頓便給了他一本文法書、字典和一篇艱澀的心理學論文並告訴他：『使用那本文法書和字典，告訴我們你的看法。』約一星期後，他不僅學會了德文，還對文法書中一些理論提出了反對意見。

一九二六年，拉姆齊發表了《Truth and Probability》論文，談論『信念』與『機率』的深層聯繫，並且提到了『賭博』中『賠率』和『賭注』的一種『簿記』 Book 之論。這就是現今稱之為『Dutch book』── 荷蘭人之書？ ── 的『必殺之技』或『必贏之論』。假使一個人對『機會之信念』不符合『機率公理』，那他將不免於被算計『預定』 booked ，以至於會『必輸無疑』。作者不知為什麼要叫做『荷蘭人之書』，看到網路上有人探討此事『History of the Term Dutch Book』，有興趣的讀者可以參考看看。這裡列出一個典型的『賭注登記者』之『書』︰

賭馬號	提供賠率	實際機率	賭金	勝金
1	公平對賭	1/2 = 0.5	$100	$100+$100=$200
2	3 : 1 對賭	1/4 = 0.25	$50	$50+3x$50=$200
3	4 : 1 對賭	1/5 = 0.2	$40	$40+4x$40=$200
4	9 : 1 對賭	1/10 = 0.1	$20	$20+9x$20=$200
		總計︰1.05	總計︰$210	總是︰$200

那麼這個『賭博』是『公平』的嗎？我們應該如何思考『公平』的呢？如果說擲一個骰子，得到六點叫『贏』，其它點數就『輸』，如此按造機率法則，六次賭局中，平均一次能『贏』，五次會『輸』，要是兩人同意這樣是『公平』的『賭博』，『賭注』總金額 $S$ 的『分配』，將會是『機會小』的出 $\frac{1}{6} S$ 和『機會大』的出 $\frac{5}{6} S$ ，然後『贏者全拿』的吧！這種玩法的『公平性』在於大數法則下計算的輸贏『期望值』兩方『相等』，都是 $\frac{5}{6} S$ 。假使是在『丟硬幣』賭『正反面』時，來看這種『分配方式』，各家出 $\frac{1}{2} S$ ，或許會更『直覺』上認為是『公平』的吧。這也就是講，一個『公平的賭局』，『贏率』加上『輸率』的總和是『一』，在大數法則下之『輸贏』的『期望值』應當『相等』。如是前述那個『賭注登記者』之『書』要是『全押』得花＄210，最終『只得』＄200，用『大數法則』推究，又怎麽能是合理的呢？？雖有『賭性堅強』的人可能會議論說︰即使是用『9︰1 對賭』，我一定也『是個贏家』！！也許也只能說他『誤解』了所謂的『公平性』的啊！長時間來講，那就是吸血的『金錢幫浦』，這也就是『經濟學』所說的『常串等值貿易』，竟然有一方『老是得益』，另一方卻『總會失利』，真難到該有此理的嗎？？

我們之前曾用『條件機率』談論『睡美人的問題』的『機率大小』之『爭論』。這個『條件機率』在歷史上最早是因英國數學家托馬斯‧貝氏 Thomas Bayes 所提出的一種對『機率的解釋』，它將『機率定義』為︰一人對某個命題之『相信度』。或許及於那個『相信度』如何因為『新的資訊』之『增減』而變化。『貝氏』的這個『主觀機率論』後來逐漸成為『非主流』的想法，所謂之『客觀機率』事件『發生頻率』的支持者佔了上風。也許二十世紀初，『量子力學』的『機率問題』的推波助瀾，更加深了所謂的『事件』之『觀察者』是『主觀』的或者是『客觀』的，之天下『大哉辯』！因而『機率』到底是『什麼』？就會是人們不得不『思考』與『面對』之問題的了！！

義大利機率論者 Bruno de Finetti 所認為︰

You must set the price of a promise to pay ＄1 if John Smith wins tomorrow’s election, and $0 otherwise. You know that your opponent will be able to choose either to buy such a promise from you at the price you have set, or require you to buy such a promise from him/her, still at the same price. In other words: you set the odds, but your opponent decides which side of the bet will be yours. The price you set is the “operational subjective probability” that you assign to the proposition on which you are betting.

持續迴盪於時空中！！

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

物理哲學·下中………

2014-12-17 懸鉤子

有些長期從事科學的教育者，發現數理學習的困難度，可以排列成『邏輯』<『數學』<『機率』這樣的次序。這可讓人覺得十分有意思，難道是說『必然的』<『抽象的』<『不確定』？或許人們不能輕易覺察之『無意識』的『參照點』就是對事物觀點『兩極化』的由來。就好像在《改不改？？變不變！！》一文中所談到的一些『悖論』彷彿是『腦筋急轉彎』的一般！

唐吉訶德‧大戰風車

西班牙作家塞萬提斯名著
《唐吉訶德》開場白︰

En un lugar de la Mancha, de cuyo nombre no quiero acordarme, no ha mucho tiempo que vivía un hidalgo de los de lanza en astillero, adarga antigua, rocín flaco y galgo corredor.

曼查有個地方，地名就不用提了，不久前住著一位貴族。他那樣的貴族，矛架上有一支長矛，還有一面皮盾、一匹瘦馬和一隻獵兔狗。

《唐吉訶德》裡有一段，說︰

桑丘‧潘薩在他治理的島上頒布一條法例，規定過橋的旅客必需誠實地表示自己的目的，否則就要接受絞刑。有一個旅客在見到橋上的告示後，宣稱自己過橋是要接受絞刑的。

這使執法者感到為難：如果旅客的言論為真，則他應被釋放並不得受絞刑，但如此一來旅客言論即變為假。如其言論為假，則他會被絞死，但如此一來其言論即變為真。該旅客被帶到桑丘面前，而桑丘最後把他釋放。

一六零五年始，塞萬提斯寫了一本『反騎士』的小說，他怎知四百年後，美國的百老匯將其『唐吉訶德』變裝成了『逐夢者』。『正港』是有著『阿 Q 精神』的『夢幻騎士』，勇往直前『非理性』的『挑戰』當代社會中的一切『不合理性』現象，絕不退縮。宛如許多的『悖論』常起源於『自我指涉』之『誤謬』，為什麼呢？

『人的行為』並不外於他的『整體行為』，『人之言思』也屬於他的『全部言思』。於是乎，在『日久天長』中，難到不可能發生，有『一鬼』以為︰它並非『已死之人』，又有『一人』認為︰他就是『活著的鬼』。如果說︰昨日之我，譬如今日死；那麼今日之我，就將明日亡。如是議論，人麽真的能理解『時間』是什麼？『光陰』之所以是『公平』的，或許祇在於『如何使用』操之在人的吧！就像一個『推動』社會的『改革者』，期盼能免於︰先生，他們敗壞了所有價值，我們打垮了他們，不過我們也不知道如何重建那些他們曾經打垮之價值的哩！！

德國數學家約翰‧彼得‧古斯塔夫‧勒熱納‧狄利克雷 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 給出了現今我們叫做『函數』 function 的『正式定義』。狄利克雷講了一個『很直覺』的『鴿巢原理』︰

假使有 $n$ 個『籠子』和 $n+1$ 隻『鴿子』，如果所有的 $n+1$ 隻『鴿子』都被關在 $n$ 個『籠子』裡，那麼至少有一個『籠子』中有 $2$ 隻『鴿子』。

只不過在『某一情境』裡『直覺知道』的概念，『換一狀況』卻未必是『是曾相識』。舉個例說，有一位『公主』認為︰頭髮就是煩惱絲，於是決定只嫁給『頭髮一樣多』的人，這可讓曾以『公主』頭髮『又多又美』為榮的父王母后煩惱不已。那麼這個『公主』能夠嫁得出去嗎？這個『王國』能有未來之『繼承人』嗎？？此國雖然不大，卻也是有數千萬人，不知是『重賞之下必有勇夫』或是講『禮賢下士總有能人』，於是有人宣稱『他有辦法』解此『危難』。就在『國王』賞他之後，他說了『所謂辦法』，使得『國王』大樂，之後那個『公主』之『母后』更樂，更是『賞賜有加』。於是天下議論紛紛有『這種辦法』的嗎？？據後來『可靠消息』說，那人不過是說了︰『人類的頭髮根數』不可能『超過百萬』根，一個有『數千萬人』之國又怎麽可能會『沒有匹配』的呢？？作者不知果然的耶！『髮生髮落』彷彿就一定是『其數隨機』；難到果真『不可能』設想『髮數絕不相同』之國的勒！此後一直有人問著『公主歸宿』到底卻是如何？傳聞說她嫁給了『頭髮一樣多』之『心上人』的了！也許更不必說有幾多人，結果他們的『生日』可能『相同』或者『不同』的了！！