每日彙整: 2015-10-10

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

勇闖新世界︰ W!o《卡夫卡村》變形祭︰感知自然‧數據分析‧二

假使借著閱讀中‧英文版的維基百科詞條『有效數字』之內容︰

【中文版】

令 x 是某個數量的真值， \tilde{x} 是 x 的近似值； x 與 \tilde{x} 都用十進位表示。有效數字就是指 x 與 \tilde{x} 的多少位數字是一致的。確切地說， \tilde{x} 有 x 的 m 位有效數字，則從 x 的左端非零數字所在位起，絕對誤差 |\tilde{x}-x| 的前 m 個十進位數位為 0 ，隨後一位數字取值從 0 到 5 . 例如：

  • 5.1 對真值 5 具有 1 位有效數字：|5.1-5|=0.1
  • 0.51 對真值 0.5 具有 1 位，而不是 2 位有效數字：|0.51-0.5|=0.01
  • 4.995 對真值 5 具有 3 位有效數字:|4.995-5|=0.005
  • 4.994 對真值 5 具有 2 位有效數字:|4.994-5|=0.006
  • 1.4 對真值 2 具有 0 位有效數字：|1.4-2|=0.6

如果 x 用科學計數法表示為  x=\Box.\Box\Box\ldots\Box\times10^n， 則 \tilde{x} 有 x 的 m 位有效數字，如果 |x-\tilde{x}|\le 0.5\times 10^{n-m} 。

有效數字指科學計算中用以表示一個浮點數精度的那些數字。一般地，指一個用小數形式表示的浮點數中，從第一個非零的數字算起的所有數字。如 1.24 和 0.00124 的有效數字都有 3 位。

 

【英文版】

The significant figures of a number are digits that carry meaning contributing to its measurement resolution. This includes all digits except:[1]

  • All leading zeros;
  • Trailing zeros when they are merely placeholders to indicate the scale of the number (exact rules are explained at identifying significant figures); and
  • Spurious digits introduced, for example, by calculations carried out to greater precision than that of the original data, or measurements reported to a greater precision than the equipment supports.

Significance arithmetic are approximate rules for roughly maintaining significance throughout a computation. The more sophisticated scientific rules are known as propagation of uncertainty.

Numbers are often rounded to avoid reporting insignificant figures. For example, it would create false precision to express a measurement as 12.34500 kg (which has seven significant figures) if the scales only measured to the nearest gram and gave a reading of 12.345 kg (which has five significant figures) . Numbers can also be rounded merely for simplicity rather than to indicate a given precision of measurement, for example to make them faster to pronounce in news broadcasts.

 

我們是否就已清楚明白了什麼是『有效數字』？並且能將之應用於『實驗數據』的記寫中？？科學自身的長遠歷史反映『 □□ 概念』也有興衰的時候，於某時期『不說自明』之概念，改朝換代後也許只『彷彿清楚』的乎！因此再次『重新詮釋』那其來有自的觀念，往往是必要且又重要的事務耶！！

就讓我們舉個用『尺』丈量『長度』的事，談談『有效』何謂也？一般『物理量』都有『單位』，假設此處『單位』是用『公分』。那根『校正』過的『尺』，其上會有最小度量之『刻度』，就說是『一公釐』吧。如是『對齊』測量某物的『長度』，終將發現該物的『端邊』落於某一『刻度』之中。此時我們只能『大概判斷』是『在刻線上』、『不過半』或者『過半』的了。依實將之記錄下來寫作 15.34 公分。意指為此物長有『 153 』個『刻度』，加上可能帶『不過半』 4 之度。如此我們說『 153 』這三位『確定』數字是『準確的』，那一個『不確定』的『 4 』是『估計值』。

原本『直覺』的概念，一旦經過『分析』之後，人們將問這樣紀錄要如何『計算』呢？計算後，要如何『取值』的呢？？那個不確定的『估計值』應該『用幾』？可以有『幾位』的呢？？…… 如是『數理抽象』的論證分解也就難免的了。維基百科裡也講︰

運算

  • 加減運算，當對測量值進行加減運算時，應先完成計算，然後對答案四捨五入，看精確到小數點後的位數（以位數少的為準）；
例：3.86m + 2.4m = 6.3m ※ 註︰ 3.86 + 2.4 = 6.26 = 6.3
  • 乘除運算，應先對測量值進行計算後，把答案四捨五入到和測量值的最小精度值相同的有效數字位數；[1]
例：409.2 km / 11.4 L = 35.9 km/L
  • 取對數(不管是常用對數還是自然對數)，按照有效數字的個數來確定小數點後的位數(位數等於個數)；
  • 取反對數，按照小數點後的位數來確定有效數字的個數(個數等於位數)；
  • 科學常數和整數可以取任意位有效數字。

 

歸結的說，不外乎是『準確值』的『加減乘除』依然『確定』，『準確』與『估計值』的『加減乘除』仍舊是『不確定』之數。『估計值』既是『不確定』之數，多取位數無益，故而只取一位。『計算結果』或說『四捨六入』或講『四捨五入』起因於『中五』難定左右，或不妨以為『兩可』也耶！

議論的講︰

誤差 = 量測值 – 真值 = \overline {X} - X

相對誤差 = \frac{\overline{X} - X}{X} = 1 - \frac{\overline{X}}{X} = 1 - \frac{\alpha \cdot \overline{X}}{\alpha \cdot X}

，這個『相對誤差』之『尺度縮放』的『不變性』

1 - \frac{\overline{X}}{X} = 1 - \frac{\alpha \cdot \overline{X}}{\alpha \cdot X}

不只具有『物理意義』─『使用單位』無關性，也是『有效數字』的一種『度量』。假使我們以『中五』作分界，『真值』居中央，也就是說『估計值 』只取『 0 到 5』，那麼有 m 位『有效數字』的十進制『量測值』將滿足

相對誤差絕對值 = | \frac{\overline{X} - X}{X} | \leq 5 \times {10}^{- m} 。

它的十為底之『對數值』或可說是『有效數字』的尺度哩。如是或亦可知『真值』與『有效』和『準確』間概念之關係的了。

莫要以為合理『估計』就是件容易的事，傳聞

費米以他通過非常少量或不精確的數據來得到比較好的估計的能力被廣泛熟知，一個例子就是他在主要領導的曼哈頓計劃中 估算核爆炸的「當量數」。1945 年 7 月 16 日晚上，原子彈在內華達州的沙漠引爆成功時，費米在原子彈試爆現場附近，突然躍起向空中撒了一把碎紙片，爆炸 後氣浪將紙片急速地捲走，他緊追紙片跑了幾步 ，並根據紙片飛出的距離估算了核爆炸的「當量」，費米計算出的爆炸威力相當於一萬噸 TNT 炸藥，非常接近現在 所接受的二萬噸的數值，之間的誤差少於一個數量級。

───

所說，正是一類稱之為『費米問題』的例子。若果能精通費米自說的『古典範例』︰

The classic Fermi problem, generally attributed to Fermi,[2] is “How many piano tuners are there in Chicago?” A typical solution to this problem involves multiplying a series of estimates that yield the correct answer if the estimates are correct. For example, we might make the following assumptions:

  1. There are approximately 9,000,000 people living in Chicago.
  2. On average, there are two persons in each household in Chicago.
  3. Roughly one household in twenty has a piano that is tuned regularly.
  4. Pianos that are tuned regularly are tuned on average about once per year.
  5. It takes a piano tuner about two hours to tune a piano, including travel time.
  6. Each piano tuner works eight hours in a day, five days in a week, and 50 weeks in a year.

From these assumptions, we can compute that the number of piano tunings in a single year in Chicago is

(9,000,000 persons in Chicago) / (2 persons/household) × (1 piano/20 households) × (1 piano tuning per piano per year) = 225,000 piano tunings per year in Chicago.

We can similarly calculate that the average piano tuner performs

(50 weeks/year)×(5 days/week)×(8 hours/day)/(2 hours to tune a piano) = 1000 piano tunings per year per piano tuner.

Dividing gives

(225,000 piano tunings per year in Chicago) / (1000 piano tunings per year per piano tuner) = 225 piano tuners in Chicago.

The actual number of piano tuners in Chicago is about 290.[3]

 

那麼只從『台灣』的歷史與地理資料中的幾個『數據』，你也可以『估算』出在山林地『開發前』這裡曾經有過『多少棵樹』？而今還剩下『幾許原始林』的呢？？也許在這『光輝國慶』之時，能對『水土保持』持有多些關注，正是愛『寶島』之舉，未來也可少些『颱風災害』的吧！！

若問何謂『使用單位』無關性的呢？這個『大哉問』就得從什麼是『數』與『量』說起的了︰

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在數學上的『數』和物理中之『量』，其實是兩種『不同概念』。『物理量』是從『度量』而來，所以會擁有『度量單位 』，比方講『時間︰秒』、『長度︰米』與『質量︰公斤』等等；然而『數學數』卻是『沒有單位』dimensionless 的，它屬於『抽象』之『值』的概念，就像說從『三朵花』、『三個人』和『三件事』 …，得出了『三』這個『數』，那裡頭並沒有『朵‧個‧件』這些的單位。一八六零年代英國科學家馬克士威 Maxwell 及克耳文 Kelvin 提出『公分‧克‧秒』的 CGS 制，是第一個有連貫性的公制系統。一八七四年英國科學促進會 BAAS 正式推動此公制系統。這一個公制系統的特點是『密度』為 \frac{g}{{cm}^3}，『力』是達因 dyne，與『機械能』稱爾格 erg，將『熱能』的『單位』叫做卡路里︰定義為一克的水由溫度 15.5 °C 加溫至 16.5 °C 所需的熱量。由於 CGS 制在電學上有二套不同的單位系統，一者是靜電單位 ESU 制 ，另一者是電磁單位 EMU 制，這就造成了使用上的不方便。一八九三年在芝加哥舉行的國際電工代表大會 International Electrical Congress 使用基於『米‧公斤‧秒』的定義，重新定義電流單位『國際安培』。一九零一年時，義大利科學家喬吉 ‧喬望尼 Giovanni Giorg 發現假使增加一個電學的單位為基礎單位，可以解決電學單位不一致的問題，比方說『米‧公斤‧秒‧庫侖』 MKSC 制或是『米‧公斤‧秒‧安培』 MKSA 制。現今 MKS 『國際單位制』是使用最廣的單位系統，從喬吉所提出的 『MKSA 制』延伸而得，其基礎單位為『米‧公 斤‧秒‧安培‧熱力學溫標‧燭光及莫耳』。在二零一一年十月舉行的第二十四屆國際度量衡大會已經提議更改四個基礎單位的定義，即將成為新國際單位制之定義，不過上述的修改並不會影響一般人的『單位使 用』。怪哉！遽聞至今『美國』都沒有採用 MKS 『國際標準制』！！

為什麼要討論『物理量』的『單位』呢？因為一般物理定律都用著『數學式』表達，萬一所計算的物理量發生了『 1 公斤  + 6 米 – 8 秒 』，這可能要比南宋著名禪宗大師大慧宗杲，是臨濟宗楊岐派第五代傳人，所提倡的『看話禪』── 舉個例說︰『萬法歸一，一歸何處？』── 還要『難參無解』。據說物理量使用單位的『因次分析』dimensional analysis 始於牛頓之『相似性原理』；就建立因次分析的現代意義用法上講，馬克士威是位重要的推手，他區分『質量』、『長度』、『時間』的度量單位為『基礎單位』，將其它單位歸類為『衍生單位』。十九世紀時法國數學家約瑟夫‧傅立葉 Joseph Fourier 洞悉了『物理定律』的『數學方程式』應當與度量物理量的『單位無關』。難道說一個人用『 □□ 制』單位，另一個人用『○○制』單位，他們的牛頓第二運動定律 \mathbf{F}=m\mathbf{a} 就因此會是『兩種』的嗎？假使兩人描述『同一』自然現象，在彼此使用的『單位換算』後，竟然能夠是『答案不同』的嗎？？

─── 引自《【Sonic π】聲波之傳播原理︰原理篇《四上》》

 

然後或許可以想像假使將『微機電』系統的『尺寸放大』來看，

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Pure logical thinking cannot yield us any knowledge of the empirical world; all knowledge starts from experience and ends in it. Propositions arrived at by purely logical means are completely empty as regards reality.

Einstein 1933

一個物理系統『因次分析』的重要性並不在於『答案求解』，而是在於『因次分析』的核心概念是『相似性』 Similarity。於是將我們帶進了一個雖然是由不同『事物』所產生『物理現象』的世界，然而在這個世界裡，這些『物理現象』彼此間卻有著『等效性』Equivalence  的描述。不知一個玩著等比例『模型飛機』的人，是否曾經想像過在『某種條件』下，它與它的『本尊』── 那架真實的飛機 ── 的『氣體動力學』方程式是『相似的』，而且它在『風洞』實驗的模擬中也可用來研究飛行的！那麼我們要如何知道，這個『某種條件』是哪種條件的呢？如果就數學上來講，通常一個表達式之所以會作『變數轉換』， 為的是得到更『簡潔化約』的『對等的』表達式。假使這個『數學表達式』描述的就是那架『模型飛機的方程式』，我們能夠知道『什麼轉換』可以得到『最簡』方程式的嗎？『因次分析』正是這兩個問題的『藥方』，是『求解答案』前的『問題簡化』！！假使我們能夠得到比較簡單的問題，那麼又為什麼不會這麼作的呢？？

─── 引自《【Sonic π】電聲學之電路學《一》中》

 

到底有沒有什麼會是『不變』的呢？？