9 | 10 月 | 2015 | FreeSandal

為了談談『量測』的『數據分析』，就讓我們從一些常用『術語』開始。假使量測某一物理量 $n$ 次，得到 $n$ 個測量值

$X_1, X_2, X_3, \cdots , X_n$ ，所謂的

【算術平均值】等於

$\overline{X} = \frac{ X_1 + X_2 + X_3 + \cdots + X_n }{n} = \frac{\sum \limits_{1}^{n} X_n}{n}$

【偏差】deviation 定義為任一個量測數據與整體算術平均值之差。因此偏差值有正有負，整組數據的偏差值總和為零。如果用 $d_i}$ 表示 $X_i$ 的偏差值，那麼 $d_i = X_i - \overline{X}$ 而且 $\sum \limits_{1}^{n} d_i = 0$ 。

【平均偏差】定義為︰所有偏差之『絕對值』的『算術平均值』。

等於 $D = \frac{\sum \limits_{1}^{n} | d_i | }{n}$ 。

這個『偏差』的概念，是說假使絕大多數的『量測值』都離『平均值』不遠，因此『平均偏差值』很小，如此可以講此『度量儀器』之『精密度』很高，若是對照

《失之豪釐，差以千里！！《下》》文本︰

若是能解『武功』有所謂『內功』與『外功』，『內功』也就是『練功』之『心法』，由通達『此功』『是什麼』到『為什麼』，『外功』就是『此功』的『 Know How』，大概『內外兼修』之事『思過半矣』的吧。

所以打算應用『感測器』 Sensors 於『 IoT 』的人，自然『需要』 Need To 了解『量測』這『事務』，才容易達成『想要』 Want to 的那『東西』。有關『誤差』之基本『觀念』，以及『數據處理』的一般『方法』，讀者可以閱讀

《實驗數據的處理與分析》

一文多作理解。作者不過『杯水車薪』，徒擔心測『杯水』怕那『儀器』不夠『靈敏』，用『秤坨』量『車薪』恐是『操作』不當，也只能『杯水車薪』點滴一番，起個薪火罷了。

尤其注意

【篩選數據者之誤】

一九七四年美國大物理學家理查‧費曼 Richard Phillips Feynman 曾經在『加州理工學院』 California Institute of Technology 的一場畢業典禮演說當中述說『草包族科學』Cargo cult science，他其中有一段講：

從過往的經驗，我們學到了如何應付一些自我欺騙的情況。舉個例子，密立根做了個油滴實驗，量出了電子的帶電量，得到一個今天我們知道是不大對的答案。他的資料有點偏差，因爲他用了個不準確的空氣粘滯係數數值。於是，如果你把在密立根之後、進行測量電子帶電量所得到的資料整理一下，就會發現一些很有趣的現象：把這些資料跟時間畫成座標圖，你會發現這個人得到的數值比密立根的數值大一點點，下一個人得到的資料又再大一點點，下一個又再大上一點點，最後，到了一個更大的數值才穩定下來。

為什麼他們沒有在一開始就發現新數值應該較高？── 這件事令許多相關的科學家慚愧臉紅 ── 因爲顯然很多人的做事方式是：當他們獲得一個比密立根數值更高的結果時，他們以爲一定哪裡出了錯，他們會拚命尋找，並且找到了實驗有錯誤的原因。另一方面，當他們獲得的結果跟密立根的相仿時，便不會那麼用心去檢討。因此，他們排除了所謂相差太大的資料，不予考慮。我們現在已經很清楚那些伎倆了，因此再也不會犯同樣的毛病。

更需小心

【準確與精密】

概念之區分。

一般射擊結果為低準確度，低精密度；惟以槍隻調校為目的的射擊，則屬於高準確度，低精密度

高準確度，高精密度

低準確度，高精密度

低準確度，低精密度

引自維基百科︰

『準確度』 Accuracy 與『精密度』 Precision 是在科學、工程學、工業及統計學等範疇上一個重要概念。

準確度是每一次獨立的測量之間，其平均值與已知的數據真值之間的差距(與理論值相符合的程度)。例如:多次實驗結果其平均值接近於已知的數據真值（理論值），可知道數據「準確」，或是數據具有「高準確度」；反之，平均值與已知的數據真值差距較大，表示實驗數據不準確，或準確度不高。

精密則是當實驗數據很精準時，會要求實驗有高度的再現性，表示實驗數據是可信的，也就是實驗數據需要具有高精密度。(多次量度或計算的結果的一致程度)。

一個結果必須要同時符合『準確』與『精密』這兩個條件，才可算是『精準』。

常見文獻以射擊彈著點分佈情形來說明準確度與精密度的意義如圖示，初看似乎簡明易懂，實際仍隱含認知的盲點。以射擊而言每一彈著點均儘量接近靶心才稱得上精確或是精準；最左邊圖示就一般射擊而言屬於低準確度低精密度。如果是期望求得彈道與瞄準機制間的關係、以槍隻調校為目的的射擊，其本質與一般真值未知的測量或實驗相同，同一最左邊圖示因為彈著點分佈其平均值接近靶心，依準確度的定義則屬於高準確度低精密度。

『中的』，距離『目標』多遠，決定『準確性』；『密集』，『各次』的『結果』彼此『相近』，確立『精密度』。既『中的』又『密集』，才是『量測』之『精準儀器』。

───

或將更能清楚明白耶！！

【標準偏差】 standard deviation 定義為︰偏差之均方根。等於

$\sigma = \sqrt{\frac{\sum \limits_{1}^{n} d_i^2}{n}}$ 。

這個『標準差』概念的『統計意義』，當可以由網文︰

標準偏差所代表的意義與運用：

常態分佈 (normal or gaussian distribution):

P 是測量值為 x 的機率。(次數少時為二項式分佈）。

如下圖為平均值為 50, 標準差為 10. 的常態分佈，

測量值出現在

範圍內的機率為 68.3% 。(2:1)

範圍內的機率為 95.4%。(20:1)

範圍內的機率為 99.7%。(350:1)

範圍內的機率為 99.994%。(15000:1)

───

知其『機率』之意指。如果針對『感測器』，或者說『物理量測』而言，最好能夠明瞭『標準差』的『物理意義』︰

之前在《【Sonic π】電路學之補充《二》》一篇裡，我們說到了『平均功率』的『定義』，通常物理上與工程中常用『均方根』或叫做『平方平均數』 Root mean square 來計算這個『平均值』，就讓先我們將『平均功率』的定義引述於此

所謂的『功率』 power 是指『能量』之『轉換』或者『使用』的『速率』，用單位時間的能量大小來表示。『功率』的『單位』是『瓦特』 W ，假使 $\Delta W$ 是一物理系統在 $\Delta t$ 時間內所做的功，那麼這段時間內的『平均功率』 $P_{avg}$ 可以由下式給出

$P_{avg} = \frac{\Delta W}{\Delta t}$

。而『瞬時功率』就是當時間 $\Delta t \rightarrow 0$ 時，『平均功率』的極限值

$P = \lim \limits_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta W}{\Delta t} = \frac{{\rm d}W}{{\rm d}t}$

。也就是講一秒消耗一焦耳的能量就是一『瓦特』，一般所說的『一度電』是指『一千瓦小時』所使用的『電能』多寡，它等於 $1000 \cdot 60 \cdot 60 J$ 。

從『瞬時功率』的『定義』，可以推導出

【機械瞬時功率】是 ${P}(t) = \vec{F}(t) \cdot \vec{v}(t)$ ；

【電力瞬時功率】是 $P(t) = I(t) \cdot V(t)$

。那麽『均方根』 $RMS, \ rms$ 的『定義』就是，如果在 $0$ 到 $T$ 時距中，我們『度量』了某個 $x$ 『物理量』 $n$ 次 $t_i, \ i=1 \cdots n$ ，這個『物理量』的『量測值』是 $x(t_i) = x_i, \ i=1 \cdots n$ ，這時我們說這個『物理量』 $x$ 的『均方根』 $x_{rms}$ 是

$x_{rms} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$

。也可以說，對於一個『連續』可『度量』的 $X(t)$ 而言﹐它就是

$X_{rms} = \lim \limits_{T\rightarrow \infty} \sqrt {{1 \over {T}} {\int_{0}^{T} {[X(t)]}^2\, dt}}$

，設使 $Y(t)$ 只存在於 $T_1$ 至 $T_2$ 時距間，此時『均方根』是

$Y_{rms}} = \sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} {[Y(t)]}^2\, dt}}$ 。

為什麼是這樣『定義』的呢？假使我們『預期』一個『刺激源』是『周期函數』，它的『響應』也就會是一個『同頻率』之『周期函數』，如此只需要知道『一個週期』的『現象』，就能夠推論『任意時間』的『結果』。更何況『傅立葉分析』讓我們能推廣到更複雜的狀況，即使是『刺激源』根本就不是個『周期函數』的情形。如果從物理上來說，這個『均方表述』就是滿足『線性』、『疊加原理』與『熱力平衡』種種為『特徵』的『描述』，或許講，是人們常用『習知』之『標準差』的啊！！

─── 引自《【Sonic π】電聲學之電路學《一》下》

所謂『平方平均數』是指︰

平方平均數（Quadratic mean），簡稱均方根（Root Mean Square，縮寫為 RMS），是 2 次方的廣義平均數的表達式，也可叫做 2 次冪平均數。其計算公式是：

M = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2 \over n} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \over n}

在連續函數 $\begin{smallmatrix}f(x)\end{smallmatrix}$ 的區間 $\begin{smallmatrix}[a,b]\end{smallmatrix}$ 內，其均方根定義為：

$f_{\mathrm{rms}} = \sqrt {{1 \over {b-a}} {\int_{a}^{b} {[f(x)]}^2\, dx}}$

應用

方均根常用來計算一組數據和某個數據的「平均差」。像交流電的電壓、電流數值以及均勻加速直綫運動的位移中點平均速度，都是以其實際數值的方均根表示。例如「220V交流電」表示電壓信號的均方根(又稱為有效值)為 220V，為交流電瞬時值（瞬時值又稱暫態值）的最大值（峰值）的 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 。