26 | 10 月 | 2015 | FreeSandal

拋一塊扁平的石塊，數著它在河面上彈跳幾下。雖然心知這條路徑可以由物理力學來計算！卻是心想那塊石子又不計算，如何走上了這條道路？為什麼自然律的描述得用數學語言？？還是人類的心智本就如此運作的呢！！因是之故，品味科學不能像品味人文了嗎？？假使人們可以理解基礎數理概念和詞彙︰

一九六零年，德國數學家『亞伯拉罕‧魯濱遜』 Abraham Robinson 將『萊布尼茲』的微分直觀落實。用嚴謹的方法來定義和運算實數的『無窮小』與『無限大』，這就是數學史上著名的『非標準微積分』Non-standard calculus ，可說是『非標準分析』non-standard analysis 之父。

就像『複數』 $C$ 是『實數系』 $R$ 的『擴張』一樣，他將『實數系』增入了『無窮小』 infinitesimals 元素 $\delta x$ ，魯濱遜創造出『超實數』 hyperreals $r^{*} = r + \delta x$ ，形成了『超實數系』 $R^{*}$ 。那這個『無窮小』是什麼樣的『數』呢？對於『正無窮小』來說，任何給定的『正數』都比要它大，就『負無窮小』來講，它大於任何給定的『負數』。『零』也就自然的被看成『實數系』裡的『無窮小』的了。假使我們說兩個超實數 $a, b, \ a \neq b$ 是『無限的鄰近』 indefinitly close，記作 $a \approx b$ 是指 $b -a \approx 0$ 是個『無窮小』量。在這個觀點下，『無窮小』量不滿足『實數』的『阿基米德性質』。也就是說，對於任意給定的 $m$ 來講， $m \cdot \delta x$ 為『無窮小』量；而 $\frac{1}{\delta x}$ 是『無限大』量。然而在『系統』與『自然』的『擴張』下，『超實數』的『算術』符合所有一般『代數法則』。

有人把『超實數』想像成『數原子』，一個環繞著『無窮小』數的『實數』。就像『複數』有『實部』 $R_e$ 與『虛部』 $I_m$ 取值『運算』一樣，『超實數』也有一個取值『運算』叫做『標準部份函數』Standard part function

$st(r^{*}) = st(r + \delta x)$
$= st(r) + st(\delta x) = r + 0 = r$

。如此一個『函數』 $f(x)$ 在 $x_0$ 是『連續的』就可以表示成『如果 $x \approx x_0, \ x \neq x_0$ ，可以得到 $f(x) \approx f(x_0)$ 』。

假使 $y = x^2$ ，那麼 $y$ 的『斜率』就可以這麼計算

$\frac{dy}{dx} = st \left[ \frac{\Delta y}{\Delta x} \right] = st \left[ \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} \right]$
$= st \left[2 x + \Delta x \right] = 2 x$

。彷彿在用著可以調整『放大倍率』的『顯微鏡』逐步『觀入』 zoom in 一個『函數』，隨著『解析度』的提高，函數之『曲率』逐漸減小，越來越『逼近』一條『直線』── 某點的切線 ── 的啊！！

同樣的『積分』就像是『里程表』的『累計』一樣，可以用

$\forall 0 < \delta x \approx 0, \ \int_{a}^{b} dx \approx f(a)\delta x + f(a + \delta x)\delta x + \cdots + f(b - \delta x)\delta x$

來表示的呀！！

─── 引自《【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧中》

使用電腦輔助計算與模擬︰

特此介紹『派生』軟件中，有一自稱『 Sage 』的『 SageMath 』

SageMath is a free open-source mathematics software system licensed under the GPL. It builds on top of many existing open-source packages: NumPy, SciPy, matplotlib, Sympy, Maxima, GAP, FLINT, R and many more.
Access their combined power through a common, Python-based language or directly via interfaces or wrappers. → Tour, Tutorial, Documentation

Mission: Creating a viable free open source alternative to Magma, Maple, Mathematica and Matlab.

Sage Notebook 數聖筆記本