4 | 9 月 | 2017 | FreeSandal

λ 表達式的『核心』理念是︰將『函數』應用於其『引數』；藉『抽象』形成『函數』。用著『簡潔』的『語法』，專注於『表徵』函數；視『函數』為計算的『規則』，深得『計算』之『內蘊』。其『語詞』表達『疏落』大方，概念『表現力』與『柔軔性』十足。故為『邏輯』、『數學』和『程式』理念之『聚寶盆』！！

辨明『異同』與分解『差別』是學習的功夫︰

真積力，久則入。

讓我們再次『觀止』λ 表達式的『定義』︰

變元集合 $V = \{ v_1, v_2, v_3, \dots, v_n, \dots \}$
抽象符號 『 λ 』與『 . 』，符號本身不是λ 表達項
結構括號 『 ( 』與『 ) 』，括號本身不是λ 表達項

λ 表達式的論域集合 $\Lambda$ ，由下面三條語法歸納定義︰

一、如果 $x \in V$ ，那麼 $x \in \Lambda$

二、如果 $x \in V$ 而且 $M \in \Lambda$ ，那麼 $( \lambda x. M ) \in \Lambda$

三、如果 $M, N \in \Lambda$ ，那麼 $( M \ N) \in \Lambda$

假使觀察一個合乎語法的 λ 表達式 $(\lambda f. (\lambda x. (f x)))$ ，然後問著『 $f$ 』變元是指『什麼』？這個表達式最內層的 $(f x)$ 是函式的應用，明寫 $f$ 是某個函式，然而如何計算卻隻字未提。如此看來，所謂的『變元』也可以是『函式』。那要怎麼『詮釋』那個『 λ表達式』呢？由於我們不知道 $f, x$ 指的是什麼？也可以說它們『未被定義』，假使『給與定義』，我們或許可以講『在這個解釋下』，該個『 λ表達式』的『語意』是『□□□』。比方談著『用量角器量角度』一事，假使︰

$f =_{df}$ 用量角器量角度
$x =_{df}$ 東西的角度

，那麼 $(\lambda f. (\lambda x. (f x)))$ 是說︰拿某種『待指定』的量角器來量『尚未說』之物的角度。

要是講到『計算某種三角函數的數值』時，設想︰

$f =_{df}$ 某種三角函數的計算
$x =_{df}$ 角度

，那麼 $(\lambda f. (\lambda x. (f x)))$ 是說︰用某個『待指定』的三角函數來計算『未輸入』的角度。
……

面對『抽象』表達式，若是缺少直覺之『詮釋』導引，還真不曉得該看什麼、做什麼呢？舉例而言︰

設有 $l, l^{'}$ 兩線，而且 $z_1, z_2, z$ 與 ${z_1}^{'}, {z_2}^{'},z^{'}$ 是那兩線上共線和對應之三點。已知 ${z_1}^{'} = \alpha z_1, \ {z_2}^{'} = \beta z_2, \ z^{'} = \gamma z$ ，那麼這兩線之間形成透視關係，同時滿足『分式線性變換』形式。

可得

$z^{'} = \frac{\alpha \cdot \beta \cdot z \cdot (z_2-z_1) }{(\alpha - \beta) z + (\beta \cdot z_2 - \alpha \cdot z_1)}}$

$= \frac{\alpha \cdot \beta \cdot z \cdot (z_2-z_1) }{\alpha ( z -z_1) - \beta (z -z_2)}$ 也。

這個 $z^{'} = f(z)$ ，簡單計算可知

$f(z_1) = \alpha z_1 = {z_1}^{'}, \ f(z_2) = \beta z_2 = {z_2}^{'}$ 。

然而所謂的『透視』，意義不止如此，將要如何『觀』耶？假設 $l$ 線上有一『代表點』 $z_{\lambda} = (1-\lambda)z_1 + \lambda z_2$ ，那麼

$z_{\lambda} - z_1 = \lambda (z_2-z_1), \ z_{\lambda} - z_2 = (\lambda -1)(z_2-z_1)$

$\therefore z^{'} = \frac{\alpha \beta z_{\lambda}}{\alpha \lambda - \beta (\lambda - 1)} \ \ \ \ \ (1)$

$= \frac{\alpha \beta \left[ (1-\lambda) z_1 + \lambda z_2 \right]}{\alpha \lambda - \beta (\lambda - 1)} \ \ \ \ \ (2)$

$(1)$ 式除了可用來確定

$\lambda = 0 : z_{\lambda = 0} = z_1, \ \lambda = 1 : z_{\lambda = 1} = z_2$ 外，重要的是

$z^{'}_{\lambda} = {\gamma}_{\lambda} \cdot z_{\lambda} = \frac{\alpha \beta }{\alpha \lambda - \beta (\lambda - 1)} \cdot z_{\lambda}$ 之意義。

要是想求 $l$ 線上的『無窮遠點』 $z_{\lambda = \infty}$ 之『對應點』， $(2)$ 式比較好使吧！此時

$z^{'}_{\lambda = \infty} = \frac{\alpha \beta (z_2 - z_1)}{\alpha - \beta}$ 。

那它有什麼『奧秘』嗎？？首先 $z_2 - z_1$ 這向量與 $l$ 『平行』，既在 $l^{'}$ 線上，一般不在 $l$ 線上！此也可由『套套邏輯』

$\frac{\alpha \beta (z_2 - z_1)}{\alpha - \beta} = \frac{\alpha}{\alpha - \beta}(\beta z_2) + \frac{-\beta}{\alpha - \beta}(\alpha z_1) = \frac{\alpha}{\alpha - \beta}({z_2}^{'}) + \frac{-\beta}{\alpha - \beta}({z_1}^{'})$

$= (1 - \frac{\alpha}{\alpha - \beta}) {z_1}^{'} + \frac{\alpha}{\alpha - \beta} {z_2}^{'}$ 確證也！！

那點難到不是『平行』於 $l$ 之『視線』和 $l^{'}$ 線之『交會點』乎？？！！如果

$\alpha \lambda - \beta (\lambda - 1) = 0 \ \Rightarrow \lambda = \frac{- \beta}{\alpha -\beta}$ ，

想必讀者可以推知其意義吧！！？？

既然已將『對射』性質賦予『透視』， $P, l, l'$ 投影點 $U,V$ 間之對應關係可用

$\left( \begin{array}{cc} v \\ 1 \end{array} \right) = \ \left( \begin{array}{cc} \frac{u}{(1- \frac{1}{k}) u + \frac{1}{k}} \\ 1 \end{array} \right) \ {\overset {P}{\doublebarwedge }} \ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 - \frac{1}{k} & \frac{1}{k} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} u \\ 1 \end{array} \right)$ 或

$\left( \begin{array}{cc} u \\ 1 \end{array} \right) = \ \left( \begin{array}{cc} \frac{v}{(1- k) v + k} \\ 1 \end{array} \right) \ {\overset {P}{\doublebarwedge }} \ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 - k & k \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} v \\ 1 \end{array} \right)$

『齊次座標』表達也。

從表達式可知我們仍舊取 $A,B$ 為『定點』︰

$A \ {\overset {P}{\doublebarwedge }} \ \left( \begin{array}{cc} 0 \\ 1 \end{array} \right)$ ， $B \ {\overset {P}{\doublebarwedge }} \ \left( \begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ 。

簡單計算可得︰

$A^{'} \ {\overset {P}{\doublebarwedge }} \ \left( \begin{array}{cc} 0 \\ 1 \end{array} \right)$ ， $B{'} \ {\overset {P}{\doublebarwedge }} \ \left( \begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ 。

而且還是用『本地座標系』︰

$\overline{AB}$ 是線 $l$ 上的『單位長度』， $u =_{df} \frac{\overline{CA}}{\overline{AB}}$ 。對應之

$\overline{A^{'}B{'}}$ 是線 $l^{'}$ 上的『單位長度』， $v =_{df} \frac{\overline{C^{'}A^{'}}}{\overline{A^{'}B^{'}}}$ 。

$k$ 為此一『透視』下之『常數』︰

$\frac{1}{k} =_{df} \frac{\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}}{\frac{\overline{C^{'}A^{'}}}{\overline{C^{'}B{'}}} } = \frac{\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}}{\frac{\overline{PA^{'}}}{\overline{PB^{'}}}}$ 。