如果讀一本『代數幾何』，其中有一段文字這麼寫︰

設有 $l, l^{'}$ 兩線，而且 $z_1, z_2, z$ 與 ${z_1}^{'}, {z_2}^{'},z^{'}$ 是那兩線上共線和對應之三點。已知 ${z_1}^{'} = \alpha z_1, \ {z_2}^{'} = \beta z_2, \ z^{'} = \gamma z$ ，那麼這兩線之間形成透視關係，同時滿足『分式線性變換』形式。

假使此時方嘗試『辨名識物』中英『廣徵博引』︰

Linear fractional transformation

In mathematics, the phrase linear fractional transformation usually refers to a Möbius transformation, which is a homography on the complex projective line P(C) where C is the field of complex numbers.

More generally in mathematics, C may be replaced by another ring (A, +, ×).^[1] For example, the Cayley transform is a linear fractional transformation originally defined on the 3 x 3 real matrix ring.

In general, a linear fractional transformation refers to a homography over P(A), the projective line over a ring. When A is a commutative ring, then the linear fractional transformation has the familiar form

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},\quad z,a,b,c,d\in A.

Otherwise homographies are expressed (az + b, cz + d) with homogeneous coordinates. The equivalence of such coordinates is expressed

U(az+b,cz+d)\sim U((cz+d)^{{-1}}(az+b),1).

莫比烏斯變換

在幾何學裡, 莫比烏斯變換是一類從黎曼球面映射到自身的函數。用擴展複平面上的複數表示的話，其形式為：

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}

其中 z, a, b, c, d 為滿足 ad − bc ≠ 0的（擴展）複數。

莫比烏斯變換也可以被分解為以下幾個變換：把平面射影到球面上，把球體進行旋轉、位移等任何變換，然後把它射影回平面上。莫比烏斯變換是以數學家奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯的名字命名的，它也被叫做單應變換（homographic transformation）或分式線性變換（linear fractional transformation）。

分解與基本性質

莫比烏斯變換的實質與反演密切相關。實際上，一個形如

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}

的莫比烏斯變換可以分解成四個變換^[3]^:51：

$f_{1}(z)=z+d/c\!$ （按d/c 做平移變換）；
$f_{2}(z)=1/z\!$ （關於單位圓做反演變換然後關於實數軸做鏡面反射）；
$f_{3}(z)=(-(ad-bc)/c^{2})\cdot z\!$ （做關於原點的位似變換然後做旋轉）；
$f_{4}(z)=z+a/c\!$ （按a/c 做平移變換）。

這四個變換的複合就是莫比烏斯變換：

f_{4}\circ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}(z)=f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}.\!

在這種分解之下，我們可以清楚地看出莫比烏斯變換的不少基本性質。首先，由於以上分解中的每個變換都是可逆的（它們的逆變換也十分清楚），因此可以容易地看出，莫比烏斯變換的逆變換也是一個莫比烏斯變換，而且其表達式可以具體計算。具體來說，設變換函數 $g_{1},g_{2},g_{3},g_{4}$ ，其中每一個 $f_{i}$ 的逆變換（反函數），

g_{i}=f_{i}^{{(-1)}}

那麼莫比烏斯變換f的逆變換就是：

f^{{(-1)}}(z)=g_{1}\circ g_{2}\circ g_{3}\circ g_{4}(z)={\frac {dz-b}{-cz+a}}

^[3]^:51

保角性與保圓性

由於莫比烏斯變換可以分解為平移、反演、位似與旋轉變換，因此能夠保持所有反演變換的性質。一個基本的例子是保角性：由於平移、反演、位似與旋轉變換都保持角度不變，因此兩個複數（或向量）之間的幅角差（夾角）在經過莫比烏斯變換後不變。

此外，一個廣義圓經過莫比烏斯變換後，仍會映射到一個廣義圓。廣義圓是指黎曼球面上的圓，包括普通的圓形和帶無窮遠點的直線（可以認為是一個半徑無限大的圓）。這也是反演保持廣義圓的結果。當然莫比烏斯變換並不是將圓映射到圓，將直線映射到直線，經過映射後直線可能變成圓，圓也可能變成直線。

複比不變性

莫比烏斯變換也可以保持複數的複比不變。設有四個兩兩不同的複數 $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ ，對應擴充複平面上四個不同的點，它們經過莫比烏斯變換後變成 $w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}$ 四點，那麼複比：

{\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{4})}{(w_{2}-w_{3})(w_{1}-w_{4})}}.

當 $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ 中有一個或多個是無窮大時，複比就定義為相應逼近的極限。比如說當四個複數是 $z_{1},z_{2},z_{3},\infty$ 時，複比就是：

{\frac {(z_{1}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})}}.

確定莫比烏斯變換

給定平面上三個不同點 $z_{1},z_{2},z_{3}$ ，存在著唯一的一個莫比烏斯變換 $f$ ，使得 $f(z_{1}),f(z_{2}),f(z_{3})$ 分別等於 $0,1,\infty$ 。這個莫比烏斯變換就是：

f(z)={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z3)(z_{2}-z_{1})}}

而由於對於另外的三個不同點 $w_{1},w_{2},w_{3}$ ，也唯一存在一個莫比烏斯變換 $g$ ，使得 $g(z_{1}),g(z_{2}),g(z_{3})$ 分別等於 $0,1,\infty$ 。因此，對於任意一組出發點 $z_{1},z_{2},z_{3}$ ，任意一組到達點 $w_{1},w_{2},w_{3}$ ，都唯一存在一個莫比烏斯變換，將 $z_{1},z_{2},z_{3}$ 分別映射到點 $w_{1},w_{2},w_{3}$ 。具體地說，這個變換就是 $g^{{(-1)}}\circ f$ ^[3]^:59-60。作為推論，如果一個莫比烏斯變換有三個不動點，那麼它是恆等變換。

，總覺得『月朦朧、鳥朦朧』乎？？或許該曉『規矩基本』耶！！

女媧豈假規補天！伏羲借矩畫卦焉！天工開物考太難！

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傳說魯班造矩先。伏羲手中原何處？大禹果真得洛書？左準繩且右規矩，己身度量稱以出？莫道此事實稽無，丁蘭魯班陰陽度！

【魯班尺】

魯班尺

【丁蘭尺】

丁蘭尺

吉凶禍福因事起？當真博識可拯難。辨物怎得無之前，益流福好唯一謙！

問世間器物創作又何故耶？？！！

─── 摘自《光的世界︰矩陣光學七》

就讓我們順著前頭文字且補一圖往下推演吧︰

依題意

$z = (1-\lambda}) z_1 + \lambda z_2$ ，

$z^{'} = (1-{\lambda}^{'}) {z_1}^{'} + {\lambda}^{'} {z_2}^{'}$ 。

按條件

$z^{'} - \gamma z = 0$

$\Rightarrow \ \left[ (1-{\lambda}^{'}) \alpha - \gamma (1-\lambda) \right] z_1 + \left[ {\lambda}^{'} \beta - \gamma \lambda \right] z_2$

$\therefore (1-{\lambda}^{'}) \alpha - \gamma (1-\lambda) = 0 , \ {\lambda}^{'} \beta - \gamma \lambda = 0$ 。

求解 $\gamma$ 可知

$\frac{\lambda}{\lambda-1} = \frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{{\lambda}^{'}}{{\lambda}^{'}-1}$ ，

似乎曾相識哩？？

且讓我們將『單點透視』放在以『投影中心』 $P$ 為『齊次座標』之『原點』的平面上作考察︰

如果依舊選用『本地座標系』︰

$A \ {\overset {P}{\doublebarwedge }} \ A^{'}$ ， $B \ {\overset {P}{\doublebarwedge }} \ B^{'}$ ， $C \ {\overset {P}{\doublebarwedge }} \ C^{'}$

$\overline{AB}$ 是線 $l$ 上的『單位長度』，任意一點 $C$ 之『賦值』為 $t$ $= \frac{\overline{CA}}{\overline{CB}} = \frac{u}{u -1}, \ u =_{df} \frac{\overline{CA}}{\overline{AB}}$ 。對應之

$\overline{A^{'}B{'}}$ 是線 $l^{'}$ 上的『單位長度』，任意一點 $C^{'}$ 之『賦值』為 $t^{'}$ $= \frac{\overline{C^{'}A^{'}}}{\overline{C^{'}B^{'}}} = \frac{v}{v -1}, \ v =_{df} \frac{\overline{C^{'}A^{'}}}{\overline{A^{'}B^{'}}}$

$l$ 與 $l^{'}$ 間的『幾何事實』仍然是

$\frac{\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}}{\frac{\overline{C^{'}A^{'}}}{\overline{C^{'}B{'}}} } = \frac{\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}}{\frac{\overline{PA^{'}}}{\overline{PB^{'}}}} = constant = \frac{1}{k} = \frac{t}{t^{'}}$ 。