【Sonic π】聲波之傳播原理︰共振篇《三下》

2014-09-25 懸鉤子

在物理學中，『圓周運動』是指物體的運動軌跡是個圓，或者沿著圓形路徑作運動。等速率圓周運動可以講是一種角速度 $\vec {\omega}$ 不變的旋轉運動。分析後可得
$\theta = \omega t$
$v = r\omega$
$a = r\omega^2 = \frac {v^2}{r}$
$T = {2\pi \over \omega}$
其中 $v$ 是速度大小， $a$ 為加速度大小， $T$ 是周期， $\omega$ 為角速度大小。假使有人說一個『簡諧運動』可以看成『圓周運動』，這是可以的嗎？據聞當年伽利略用望遠鏡觀測『木星』Jupiter 發現它周遭小星群的出沒有特定樣態，由此斷定為『木星的月亮』，這件天文大事使得『地球』成了不是唯一有『月亮』的『行星』！從遠處看圓周運動就像是運動的軌跡『投影』，如果我們將一個圓周運動投影到 $x$ 軸上來看它的運動規律，可得

$a = \frac{v^2}{r}, \ a_x = - \frac{v^2}{r} \cos(\theta)$ ，依據牛頓第二運動定律，

$\frac {F_m}{m} = a_x = - \frac{v^2}{r} \cos(\theta)$
$= -\frac {4 {\pi}^2 r}{T^2} \cos(\theta)$
$= -\frac {4 {\pi}^2 }{T^2} x$

，這難道不就是『虎克定律』 $F_x = - k x$ 的形式的嗎？對比後得到 $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ 。無怪乎伽利略可以推測那是繞著木星作圓周運動的月亮，而勞侖茲會用『虎克弦』將『電子』與『原子核』栓綁起來，原來是可以這樣看的啊！！

那麼可以用『圓周運動』來描述『受驅振子』的嗎？一個半徑為 $A$ 的受軀均速圓周運動，就是講『質點』 $m$ 的振幅是 $A$ ，它所受到的『阻力』 $\vec{F_d} = - b \vec{v}$ 是在此圓的『切線』方向上。這樣『驅力』 $F$ 可以分解成沿著圓的『切線方向』分量的 $\vec{F_t}$ 用以克服『阻力』 $\vec{F_d}$ ， $|\vec{F_t}| = |\vec{F_d}|$ ；『法線方向』的分量 $\vec{F_r}$ 或者『協同』或者『對抗』系統的虎克力。此時 $v = \frac {2 \pi A}{T} = 2 \pi A f, \ a = \frac{v^2}{A}$ ，依據牛頓第二運動定律，法線方向的『向心力』方程式為 $a = \frac{k A + F_r}{m}$ ，切線方向是 $|F_t| = |F_d| = 2 \pi b A f$ ，假使將系統的『自然頻率』用 $f_0 = \frac{1}{ 2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ 來表示，化簡後得到
$\frac {|F_r|}{|F_t|} = \frac{2 \pi m}{b f} \left( f^2 - {f_0}^2 \right)$ ，以及
$A = \frac {F}{2 \pi \sqrt{4 {\pi}^2 m^2 {(f^2 -{f_0}^2)}^2 + b^2 f^2}}$

圓周運動的思路，帶給我們另一種考察『受驅振子』系統行為的觀點。在此再次引用《【Sonic π】聲波之傳播原理︰振動篇》一文中的方程式

頻率為 $\omega$ 的正弦驅動力

此時系統的方程式為

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 x = \frac{1}{m} F_0 \sin(\omega t)$

$F_0$ 是驅動力的振幅大小。在線性微分方程式如 $\hat{L} x(t) = F(t)$ 的『求解』裡，如過『 $\Box$ 』是 $\hat{L} x(t) = 0$ 的一個解，『 $\bigcirc$ 』是 $\hat{L} x(t) = F(t)$ 一個『特解』，那麼『 $c \ \Box + \ \bigcirc$ 』就是該方程是的『通解』。我們已經知道 $F(t) = 0$ 的『低阻尼振子』之解在若干個弛豫時間後數值將變得太小了，所以它對於系統長時間之後的『行為』沒有太多的貢獻。因此我們說這個系統的『穩態解』steady-state solution 是

$x(t) = \frac{F_0}{m Z_m \omega} \sin(\omega t + \phi)$ ，此處

$Z_m = \sqrt{\left(2\omega_0\zeta\right)^2 + \frac{1}{\omega^2}\left(\omega_0^2 - \omega^2\right)^2}$

是『響應阻抗』函數。而 $\phi$ 是驅動力引發的相位角，可由

$\phi = \arctan\left(\frac{\omega_0^2-\omega^2}{2\omega \omega_0\zeta}\right)$

所決定，一般它表達著相位『遲滯』 lag 現象。

從圓周運動觀點來看，力的最『有效運用』只在於『克服阻力』，不論對抗或者協同『虎克力』，就是要改變系統的『自然振動』之頻率，因此『頻率偏離』愈大愈『多勞少功』。 $\frac {|F_r|}{|F_t|}$ 一式就是這個度量，它在 $f = f_0$ 時為『零』。試著幫一個『盪鞦韆』的小女孩『越盪越快』，就可以體驗這和『越盪越高』是很不相同的一回事！！

然而這個系統的最大振幅事實是發生在『共振頻率』 $f_{res} = \sqrt{{f_0}^2 - \frac{b^2}{8 {\pi}^2 m^2}$ 時，這又是怎麼回事的呢？在物理上一個低阻尼『受驅振子』是用『無因次』的『品質因子』 $Q$ 來描述『共振腔』 resonator 在鄰近『共振頻率』時，系統中能量比值，它的定義是

當信號振幅不隨著時間變化後，系統儲存能量和每個週期外界所提供能量的比例，此時系統儲存能量也不會隨時間變化：

$Q = 2 \pi \times \frac{\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Energy dissipated per cycle}} = 2 \pi f_r \times \frac{\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Power Loss}}$

此處『每周期能量損耗』Energy dissipated per cycle，就是『驅力』維持系統持續『振動』所需作的功。高 $Q$ 的物理系統可以說是『振動能耗』小，並非所有的系統高 $Q$ 就一定好，通常它與『系統目的』性有關。比方講『 防止門突然關閉的阻尼器』它的 $Q$ 因子為 $\frac{1}{2}$ ，然而計算機裡的『振盪器』需要頻率的高度穩定性 $Q$ 因子可以高達 $10^9$ 以上。

同時物理上也用著鄰近『共振時』，『振幅』的『半峰全寬』 FWHM Full width at half maximum 的『頻寬』 $\Delta f$ 來考察『共振效能』。對於高 $Q$ 值的物理系統，很訝異的可以近似為 $FWHM = \frac {f_{res}}{Q}$ 。
從能量的觀點來看『受驅振子』的系統，假設 FWHM 遠小於 $f_{res}$ ，也就是說 $f \approx f_{res}$ ，因此

$f^2 - {f_{res}}^2 = {\left( f_{res} \pm \frac {FWHM}{2} \right)}^2 - {f_{res}}^2$
$= \pm f_{res} \cdot FWHM + \frac {1}{4} {FWHM}^2$
$\approx \pm f_{res} \cdot FWHM$

假使從能量的觀點來講，當 $4 {\pi}^2 m^2 {\left( f_{res} \cdot FWHM \right)}^2 = b^2 f^2$ 時，這時系統能量為共振時的 $\frac{1}{2}$ 。於是 $FWHM = \frac {b} {2 \pi m}$ 。

此系統一周期儲存的能量是 $E = \frac {1}{2} A^2$ ，一周期 $T = \frac {1} {f}$ 『阻力』 $b v$ 所作的功是

$\int_{0}^{T} b v dx = \int_{0}^{T} b v \frac{dx}{dt} dt$
$= \int_{0}^{T} b v^2 dt = \frac {1}{2} b A^2 f$

。所以 $Q = 2 \pi \frac {k} {b f}$ 。由於我們假設 $f \approx f_{res} \approx f_0 = \frac{1}{ 2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ ，於是我們就得到了

$FWHM = \frac {f_{res}}{Q}$ 。

果真是『退一步，海闊天空』，『換個觀點』思考『大惑全解』。自然中處處能有共振的現象，有些產生『壯觀奇景』，有些引發『毀滅災難』。人們所造之『橋』所建的『樓』，如果不細思與外界可能產生『共振』的問題，假使『橋垮樓塌』不該說是『天災』卻是『人禍』的啊？？

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【Sonic π】聲波之傳播原理︰共振篇《三上》

2014-09-24 懸鉤子

讓我們再度考察『勞侖茲振子模型』

$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} x(t)+ 2 \gamma \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} x(t)+ \omega^2 x(t) = \frac{c}{m} E(t)$

，此處 $c$ 是電子的『電荷』 $1.602 \times {10}^{-19} c$ 庫倫， $m$ 是電子之『質量 $9.11 \times {10}{-31} kg$ 公斤， $E(t)$ 是電子所處的『時變電磁場』。一般物質是由原子組成，原子的內部有『帶正電』的『原子核』與『帶負電』等電量個數的『電子』。因此從外部來看原子的電荷總量為零，具有『電中性』，由是之故物質通常也都是電中性的。假使將一個原子看成一個點，因為電中性的原因，它與另一個『不帶電』物體之間就不會有『庫倫作用力』，也就是說那個原子對外並不會產生『電場』。但是一個『有大小』而且電子可能『震盪』的原子，難到不會因為『電荷分佈』不均勻產生『電場』的嗎？針對這個『不均勻』之描述也就是物理上所說的『偶極子』 dipole 之概念。對於一個『電偶極子』來講，它的物理定義是︰『電量』乘以『負電荷』到『正電荷』的『位移向量』。於是一個『勞侖茲振子』所產生的『電偶極子』就是 $- c \cdot x$ ，此處的『負號』是由『電偶極子』的定義而來的。

在電磁學裡，有兩種『偶極子』 dipole ：『電偶極子』是兩個分隔一段距離，電量相等，正負相反的電荷。『磁偶極子』是一圈封閉循環的電流，例如一個有『恆定電流』運行的『線圈』。偶極子的性質可以用它的『偶極矩』來描述。如果說一個『電偶極子』是由『帶電粒子』所產生的，那麼宇宙中是否存在『帶磁粒子』 ── 比方說它只有『磁北極』或者『磁南極』 ── 的呢？根據當前的觀察結果，『磁偶極子』產生的機制只有兩種︰『電流迴路』與『量子自旋』，科學家從未在實驗裡發現任何『磁單極子』存在的證據。

假使說一個電偶極子 $\mathbf{p}$ 在以它為是原點 $\mathbf{O}$ 的座標系裡觀察，那麼在空間位置 $\mathbf{r}$ 上，這個電偶極子所產生的『電動勢』 $\Phi(\mathbf{r})$ 就是
$\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^2}$
，此處 $\epsilon_0$ 是真空電容率。當然它還可能會『輻射』出『電磁波』就一點也不奇怪的了！

果真是『琴弦振動』產生了『聲波』，這一個『勞侖茲振子』的電子震盪就產生了球面『電磁波』的啊！！

今天人們用著『勞侖茲振子』模型結合『統計力學』，來解釋許多大自然『物理現象』的『成因』。根據美國太空總署二零零七年『瑟宓斯衛星任務』 Themis mission 傳回的新數據，科學家發現『太陽』釋放的『帶電粒子』像一道氣流飛向地球，碰到『兩極上空磁場』時又形成若干『扭曲磁場』，因此『帶電粒子』的能量在『瞬間釋放』，並以燦爛眩目的『北極光』形式『呈現』。然而地球上的極光主要只有『紅、綠』二色是因為在『熱成層』的『氮氣』和『氧氣』原子被『電子』碰撞後，各自散發出『紅色』或『綠色』的色光之故。

既然『電磁波』是『波』，一定有『折射』與『反射』的現象，然而從『微觀』的角度來看『巨觀』的『介質』，這可能是『完全不相同』的事情。好比說『理想氣體』方程式所講的『溫度』、『壓力』與『體積』等等的『巨觀量』，其實可以說是『微觀』中『各方向難以計數』之粒子作『彈性碰撞』的『解釋』一樣。因此從『物理理論』之『概念』來講是不是『折射率』也有一個『由來』的呢？舉例來說所謂『電磁波』的『折射定律』是否『邏輯上』能從馬克思威的『電磁理論』推導出來的呢？？或許這也正是『勞侖茲』想要解答的『問題』之一；也許他果然是『受限』於他的時代，但是他的『模型』卻超越了他的『時代』；現今來講人們可以用著『勞侖茲振子』以及『量子統計力學』不只『解釋』那個『折射率』的問題，它還可以說明『吸收率』與『色散性』種種的『成因』。

自然的『奧妙』常在於『最普通』的現象，就像大部分物質都會『熱脹冷縮』，然而『水』結冰時卻是『體積膨脹』，這使得它的『密度下降』，或可以浮之於水上，難到它不是也保護了『水下生物』得以『保持生機』以至於『過冬』的嗎？更不要講大氣最外的『臭氧層』 $O^3$ 到底怎麽回事的了？？

── 易曰：自天佑之，吉無不利。子曰：佑者助也。天之所助者順也；人之所助者信也，履信思乎順，又以尚賢也。是以自天佑之，吉無不利也！！ ──

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【Sonic π】聲波之傳播原理︰共振篇《二》

2014-09-23 懸鉤子

在量子力學被發現之前，一八七八年勞侖茲就利用『古典力學』與『電磁理論』，想像著『原子‧電磁場』會如何『交互作用』，並將此『模型』之表達為

$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} x(t)+ 2 \gamma \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} x(t)+ \omega^2 x(t) = \frac{c}{m} E(t)$

，此處 $c$ 是電子的『電荷』 $1.602 \times {10}^{-19} c$ 庫倫， $m$ 是電子之『質量 $9.11 \times {10}{-31} kg$ 公斤， $E(t)$ 是電子所處的『時變電磁場』。勞侖茲假設『原子核』與『電子』間的『束縛力』可以用『虎克定律』 $F = - k \cdot x$ 來描述。並且假設『原子核』的質量遠大於『電子』的質量，因此可以看成只有『電子』在『假想原子核靜止』的『平衡位置』附近做『簡諧運動』，好比人們日常生活中活動在『靜止的大地』上。所以 $\omega = \sqrt{\frac {k}{m}}$ 就是這個『原子』振動的『自然頻率』。當年勞侖茲其實不能解釋『阻尼係數』 $\gamma$ 的真實成因；有了『量子力學』之後，人們才知道它有著來自於『原子碰撞』與『輻射量化』的種種原故。然而勞侖茲的確了解一加速帶電粒子會放射出『電磁輻射』，因此減少『動量』，現今稱之為『阿布拉罕‧勞侖茲力』Abraham-Lorentz force，數學上可以寫成

$\mathbf{F}_\mathrm{rad} = \frac{\mu_0 q^2}{6 \pi c} \mathbf{\dot{a}} = \frac{ q^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3} \mathbf{\dot{a}}$

。假使計算一個『電子』輻射了『電磁波』，而這個『電磁波』又作用到那個電子『自己』，就引發了所謂的『自身場』self-fields 問題。在古典物理中，它的數學求解會產生『未來的作用力影響了現在』的結果。事實上，自身場關係到『物質』與『能量』的『本質』，這個問題目前看來物理學家們也許尚在『爭論中』！！

那麼『勞侖茲振子模型』 Lorentz Oscillator Model 是否是一個『適切』的『物理模型』的呢？一般說來物理模型通常必須能夠『定量符合』觀察數據，並且『定性說明』物理現象。有時一個『良好』的物理模型還能『啟發』人們探究『新的』物理現象。在此就讓我們考察一下這個物理模型的定性之『合適性』和定量的『近似性』

一、氫原子 H 是質量最輕的原子，原子核只由一個『質子』所構成，它的質量為 $1.67 \times {10}^{-27} kg$ ，大約是『電子』的一千八百多倍。依據牛頓『作用反作用』第三運動定律，假使一個質量是 $m$ ，位置在 $x_e(t)$ 的『電子』與質量為 $M$ 處之於 $x_n(t)$ 『原子核』發生交互作用，運動方程式會滿足

$m \frac {d^ 2 x_m} {d t^2} = - F_{Mm}, \ M \frac {d^ 2 x_M} {d t^2} = F_{mM}$

，因此得到 $\frac{d^2}{d t^2} {\left( m x_m + M x_M \right)} = 0$ ，所以 $m x_m + M x_M = x_c(0) + v_c(0) t$ 。如果選擇從『質心參考座標系』上來描述此兩者的運動，此時 $x_c(0) = 0, v_c(0)= 0$ ，得到 $m x_m + M x_M = 0$ 的關係式，也就是說

$x_M(t) = \frac{m}{M} \cdot x_m(t)$

，因此可以講『靜止的原子核』與『在平衡位置附近做簡諧運動的電子』之假想是原子系統定性上說『合理的』的近似。

二、從數學上來說，我們可以用『泰勒級數』Taylor series 將一個『函數』 $f(x)$ 在任何『位置』展開。比方講假設於『平衡位置』 $a$ 處附近觀察，可以得到

$f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots$

。如果說這個 $f$ 就是『電子』與『原子核』之間的交互作用力，此式的前兩項 $f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)$ 也就是『虎克定律』的『假設』了！真不知道到底有多少系統不可以用『虎克力』來作『近似處理』！！

左圖中『粉紅色曲線』是『近似』 $\sin(x)$ 的七階泰勒多項式

$\sin\left( x \right) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}.\!$

，在 $−1 < x < 1$ 的區間裡，這個多項式近似的『誤差』小於 $\frac {{|x|}^9}{9!}$ 。因此，『原子核』與『電子』間的『束縛力』可以用『虎克定律』 $F = - k \cdot x$ 來描述的『假設』，也是定量上講原子系統的『適切的』模型。

雖然『電磁波』內有『電場』與『磁場』，勞侖茲設想『電子』的『震盪位移』很小，這樣『磁力』的作用比起『電力』來說真的是『小巫比大巫』可以忽略不計的了。然而這是一個『合理假設』的嗎？假使探究現今的『勞侖茲力定律』，它其實是一個『電磁學』上的『基本公理』，並不能從別的『理論推導』出來的定律，當然是經過『千錘百鍊』重複的實驗所得到的『結論』

$\mathbf{F} = q (\mathbf{E} +\mathbf{v} \times \mathbf{B})$

！於是勞侖茲將 $E(t)$ 設想為『時變電場』，而且假設為

$E(t) = E_0 \sin (\nu t)$ ，此處的 $\nu$ 就是『電子』所遭遇的外部之『時變電場』的『頻率』。如果將『勞侖茲振子模型』的數學方程式與《【Sonic π】聲波之傳播原理︰振動篇》一文中之『受驅振子』方程式作個『比較』︰

頻率為 $\omega$ 的正弦驅動力

此時系統的方程式為

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 x = \frac{1}{m} F_0 \sin(\omega t)$

$x(t) = \frac{F_0}{m Z_m \omega} \sin(\omega t + \phi)$ ，此處

$Z_m = \sqrt{\left(2\omega_0\zeta\right)^2 + \frac{1}{\omega^2}\left(\omega_0^2 - \omega^2\right)^2}$

是『響應阻抗』函數。而 $\phi$ 是驅動力引發的相位角，可由

$\phi = \arctan\left(\frac{\omega_0^2-\omega^2}{2\omega \omega_0\zeta}\right)$

所決定，一般它表達著相位『遲滯』 lag 現象。

，除了一些『符號』的『物理意義』詮釋不同之外，兩者又有什麼不同的呢？？

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【Sonic π】聲波之傳播原理︰共振篇《一》

2014-09-22 懸鉤子

夢是一種主體經驗。人在睡眠時自發產生想像的影像、聲音、思考或感覺，通常夢不請自來。有一門研究『夢的科學』稱作夢學Oneirology 。除了人以外，據聞其他的哺乳動物也會作夢。作夢與『快速動眼』 REM Rapid Eye Movement 睡眠狀態有關，那是發生在睡眠後期的一種『淺睡狀態』，特色是眼球快速的水平運動、橋腦刺激、呼吸和心跳加速、發生暫時性的肢體麻痺。
俗話說︰佛眼察究竟、天眼知吉凶、慧眼識英雄；或可講人眼愛作夢，祇不知是怎樣的夢呢？？

一八五三年出生的荷蘭物理學家亨德里克‧安東‧勞侖茲 Hendrik Antoon Lorentz 一生著作豐富，對力學、熱力學、流體力學、動力學理論、固體理論與光的傳播都有所貢獻。一八七八年，年方二十四歲的勞侖茲被任命為新成立的萊頓大學 Universiteit Leiden 理論物理學教授，在一月二十五日所發表的就職演講，題目竟是『關於中子理論的物理學』。於萊頓最初的二十年間，勞倫茲主要的興趣是用電磁理論來解釋電、磁與光的關係，其後拓及了眾多的其它物理領域。一八九六年荷蘭物理學家彼得‧塞曼 Pieter Zeeman 發現鈉的火焰之光譜有『譜線分裂』的現象，現今稱做『塞曼效應』，隨後勞侖茲在理論上解釋了譜線分裂成三條的原因。因而一九零二年他的實驗和理論榮獲了諾貝爾物理獎，自此以後他的大名字廣泛的出現在勞侖茲公式、勞侖茲力、勞侖茲分佈、勞侖茲變換等等『學術名詞』之上。一九零四年他所提出的『勞侖茲變換』以及『質量』與『速度』關係式，能讓馬克士威方程組從一個慣性座標系變換到另一個慣性座標系時保持形式不變，為後來愛因斯坦創立『狹義相對論』奠定了基礎。

一九二八年二月四日，勞侖茲在哈勒姆辭世。葬禮當日，荷蘭舉國電訊與電話停止三分鐘，哀悼這位享有盛譽的科學家。愛因斯坦那天在其悼詞中稱讚勞侖茲是『我們時代最偉大，最高尚的人』。之後為了紀念勞侖茲一生的貢獻，荷蘭政府決定從一九五四年起，將他誕生那天定為『勞侖茲節』。

一八九七年英國物理學家約瑟夫‧湯姆森爵士 Sir Joseph ThomsonT透過『陰極射線』發現了『電子』。這一系列的發現動搖了『原子不可分』理論，依據這些實驗基礎，一九零四年，湯姆森提出了『梅子布丁』模型來解釋『原子結構』，最終於一九零六年被授予諾貝爾物理學獎。五年後紐西蘭大物理學家歐內斯特‧拉塞福，第一代尼爾森的拉塞福男爵 Ernest Rutherford, 1st Baron Rutherford of Nelson，被稱為『原子核物理學』之父。利用『α粒子束』轟擊真空腔中的『金箔』，建立了原子結構『太陽系』模型來解釋實驗結果。也因著對『元素蛻變以及放射化學的研究』，榮獲了一九零八年諾貝爾化學獎。然而根據古典電磁理論，這樣的加速運動模型會發射出電磁波，導致電子能量不斷減少，最終坍陷到原子核內。於是盧瑟福的學生，尼爾斯‧波耳 ── 提出互補原理那個人 ──，假設當電子在軌道上運動時並不發射無線電磁波，只能從一個穩定軌道躍遷到另一個穩定軌道，僅當電子躍遷時才會與外界有能量交換。因其對『原子結構以及從原子發射出的輻射之研究』，榮獲一九二二年諾貝爾物理學獎。這個發展一直持續到現今依據量子力學的『原子結構』之『機率分佈』的『電子雲』模型。

藉著這個『原子結構』發現過程的『簡史』，我們可以明白通常『物理模型』與『數學模型』之間的差異。各種的『物理模型』固然是用『數學語言』來表達，但是它必須有著『物理現象』為依歸，和已經建立的『物理理論』與『物理概念』相容恰，並不能夠無由隨意『作抽象』，同時物理模型的『數學求解』也必得要能『解釋』所有相關的『實驗數據』。因此在一個『物理理論』成熟之前，常常會有『百家爭鳴』的情況。一旦形成確定的『物理學說』之後，或許才可以說人們有了這個『物理現象』的『數學模型』。

由於近百年來，人們積累了眾多『不同科學』之大量的『定量知識』，而這些『定量知識』從『數學語言』的描述來講，雖是相異學科系統的『現象模型』，不過它們在數學上的『抽象結構』可以是『相似的』，甚至是『一樣的』。也許這就是今天跨科系之一般『系統論』之所以興起的原因。假使說不同領域的『現象方程式』卻是『相同的』，到底是表示『什麼意義』的呢？