【Sonic π】聲波之傳播原理︰拾遺篇《一》候風地動儀‧下

2014-09-20 懸鉤子

據知最早中國考古學家王振鐸花費五年的時間，參考結合英國科學家的『地震理論』，根據范曄後漢書裡的『一百九十六』個字終於一九五一年再現了『第一臺』候風地動儀。祇是雖然這臺『候風地動儀』深獲肯定，它卻沒能夠測出『北京時間』一九七六年七月二十八日凌晨三點四十二分五十八秒，距離北京僅只有一百五十公里的『河北省唐山市』的『超大地震』。那一次地震的『震央』距離地表只有六公里，唐山市竟被頃刻間夷為了平地，這個大慘劇近代史稱之為『唐山大地震』。由是之故，『候風地動儀』大概也只能是『故事裡的事』，因此也不得不把它歸之於『神話傳說』中之『知震神器』的了！！

本以為將『落幕的故事』風雲再起，二零零二年中國科學院的教授馮銳注意到先前地震儀之王振鐸『復原模型』恐有『原理性』之『錯誤』，於是開啟了『候風地動儀』研究的『第二章』！馮銳的主要觀點在於『機、關』兩字『原意』的『重新解讀』！果真是『江山代有才人出，各領風騷五百年』的啊！！

假使從『結果論』的觀點來講﹐也就是王振鐸的『模型設計』，它在『地震』來時，觸發不了『機關』，因此『龍不能吐丸』的了。

【錯誤的製作原理】

人們常有一種『迷思』，或者認為後人的科技當然優於前人，因此說『古不如今』；也有的人講『今不如古』，要不然怎麼會那麼多的『失傳技藝』無法再現。唐代韓愈在《師說》中提出了『聞道有先後，術業有專攻，如是而已。』的觀點，或許可以『釋疑』。假使說今有人『立志』做個『大廚』，以能『庖丁解牛』為楷模，那麼『化學』、『營養學』、『熱力學』種種可能與『食物』和『做菜』有關的『科學』與『知識』，是否都一定得要是『先修課』，否則就做不出『好吃的菜』呢？恐怕這樣會是『遠近親疏』不分的『不著要點』的吧！設想另一人他祇是在家『開始做菜』，還是『邊做邊學』，只從『家人反應』得知『好吃與否』，因著對『料理熱情』，一再的『改善自身』做菜基本的『料、工、火侯』處理方法，『喜聞』各種『食』相關的『技藝』與『文化』，知道後不僅僅『如法泡製』，他還嘗試『加油添醋』，如是能數十年如一日，這樣他的某些『家常菜』，是否其他的『名廚』就能『做的出來』的呢？？即使就『做菜』一事而言，『善做菜』是一件事，『教做菜』是另一回事，就是能『說的一口好菜』也是不容易的事情啊！！

《韓愈‧師說》

古之學者必有師。師者，所以傳道、受業、解惑也。人非生而知之者，孰能無惑？惑而不從師，其為惑也，終不解矣。

生乎吾前，其聞道也，固先乎吾，吾從而師之。生乎吾後，其聞道也，亦先乎吾，吾從而師之。吾師道也，夫庸知其年之先後生於吾乎？是故無貴，無賤，無長，無少，道之所存，師之所存也。

嗟乎！師道之不傳也久矣！欲人之無惑也難矣！古之聖人，其出人也遠矣，猶且從師而問焉。今之眾人，其下聖人也亦遠矣，而恥學於師。是故聖益聖，愚益愚，聖人之所以為聖，愚人之所以為愚，其皆出於此乎？

愛其子，擇師而教之，於其身也，則恥師焉，惑矣！彼童子之師，授之書而習其句讀者，非吾所謂傳其道、解其惑者也。句讀之不知，惑之不解，或師焉，或不焉，小學而大遺，吾未見其明也。

巫、醫、樂師，百工之人，不恥相師；士大夫之族，曰師、曰弟子云者，則群聚而笑之。問之，則曰：「彼與彼年相若也，道相似也。」位卑則足羞，官盛則近諛。嗚呼！師道之不復可知矣。巫、醫、樂師、百工之人，君子不齒，今其智乃反不能及，其可怪也歟！

聖人無常師，孔子師郯子、萇弘、師襄、老聃。郯子之徒，其賢不及孔子。孔子曰：「三人行，必有我師。」是故弟子不必不如師，師不必賢於弟子，聞道有先後，術業有專攻，如是而已。

李氏子蟠，年十七，好古文，六藝經傳，皆通習之。不拘於時，學於余，余嘉其能行古道，作師說以貽之。

一八八零年代英國地理學家約翰‧米爾恩 John Milne 、詹姆斯‧艾佛烈‧尤因 James Alfred Ewing 與托馬斯‧格雷 Thomas Gray 三人在日本工作時，發明了第一台『精準的地震儀』Seismometer，其機制使用『水平式阻尼單擺』 Damped horizontal pendulums，並以『光擺』方式放大『振動信號』，藉此將『地震波』紀錄在『高感光』相紙上。在第二次世界大戰後，米爾恩的設計幾乎成了地震儀的『世界標準』。

現今地震儀漸漸的使用『電子感測器』electronic sensors，某些地震儀已經可以量測振動頻率由 $0.00118 Hz$ 至 $500 Hz$ 的範圍。

馮銳在各國的地動儀模型中，注意到了現代地震學之父約翰‧米爾恩將後漢書中范曄『中有都柱』翻譯成『中間有一根柱子，這根柱子是懸掛著的』。在地震發生時，高處懸掛的『吊燈』，由於『慣性作用』對『水平運動』非常『敏感』，所以吊燈也就『搖晃』的特別厲害。據考古發現早在漢代就已經有了『吊燈』，難道這就是張衡之所以用著『懸垂擺』的緣故？？

【懸垂擺原理】

二零零五年四月馮銳帶領的工作小組，終於依據且符合那一百九十六個字，重新復現了候風地動儀。其後驗之以『地震』，果然是『神龍吐丸』，『月魄蟾蜍』銜之鏗鏘。

那麼為什麼『候風地動儀』會失傳的呢？據馮銳的說法是

自公元一三二年張衡發明候風地動儀以來，接連發生了幾次地震，到公元一三四年的隴西地震，張衡名氣大造，候風地動儀也聲名遠播。然而因著『天象』結合了『政爭』，頻起的『地震』究竟是『誰的過錯』？懺緯之說如是說︰地震起於『用人不當』，此上天之所以『罰罪』。縱使張衡有『天才之能』亦『無力分說』那個『地震之是非』。因此公元一三四年有『高官免職』後，張衡的『官運』也就步上了『黯淡之途』。由於沒有人希望能夠再『測出地震』，這時那個候風地動儀已經成為了『不祥之器』！短短幾年後，到了公元一三九年張衡抑鬱而逝。東漢末年，公元一九零年，董卓一把大火燒毀了『洛陽城』，一切終歸於『灰飛煙滅』！！

── 也許科學與玄學的大戰，始終是伺機而動的吧！！ ──

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

【Sonic π】聲波之傳播原理︰拾遺篇《一》候風地動儀‧上

2014-09-19 懸鉤子

《張衡‧歸田賦》

明代祝允明行草

游都邑以永久，無明略以佐時。徒臨川以羡魚，俟河清乎未期。感蔡子之慷慨，從唐生以決疑。諒天道之微昧，追漁父以同嬉。超埃塵以遐逝，與世事乎長辭。

　　于是仲春令月，時和氣清；原隰郁茂，百草滋榮。王雎鼓翼，倉庚哀鳴；交頸頡頏，關關嚶嚶。于焉逍遙，聊以娛情。

　　爾乃龍吟方澤，虎嘯山丘。仰飛纖繳，俯釣長流。触矢而斃，貪餌吞鉤。落云間之逸禽，懸淵沉之鯊鰡。

　　于時曜靈俄景，繼以望舒。极般游之至樂，雖日夕而忘劬。感老氏之遺誡，將回駕乎蓬廬。彈五弦之妙指，詠周孔之圖書。揮翰墨以奮藻，陳三皇之軌模。苟縱心于物外，安知榮辱之所如。

大科學家張衡是東漢士大夫、天文學家、地理學家、數學家、發明家、文學家，南陽西鄂人，製作以水力推動的『渾天儀』，發明能探測地震方位的『候風地動儀』以及『指南車』。他發現了月蝕的真正原因，也曾繪製兩千五百顆星辰的星圖。稱名漢賦四大家之一，文學上創作了〈二京賦〉、〈歸田賦〉等等辭賦名篇。

『渾天儀』就是現在的天球儀，用來演示天體運動的規律。假使其中加有『窺管』一般叫做『渾儀』，可以協助觀測天文。歷史上記載戰國時期的石申、甘德最早製作『渾象』，即是渾天儀。

傳說黃帝軒轅製造『指南車』大敗炎帝於『阪泉之戰』。指南車又叫做『司南』是一種指示方向的工具。指南車並不是『羅盤』那一類使用『磁極』的指向器物。指南車的結構使用了『差動齒輪』裝置，也叫做『差速器』。物理原理是指南車直走時，左右兩輪轉動角速度相等，差動裝置不傳動『司南者』，彎行時兩側車輪的角速度就不相等，差動機制驅動著司南者『逆其差』，因此『司南者』恆『司南』。其後不知何故，指南車的製造方法就失傳了。一九二四年英國學者穆爾 Moule 發表了研究指南車的論文並根據《宋史》文獻記載給出了具體的『復原方案』。一九三七年王振鐸發表了《指南車記里鼓車之考證及模製》一文，其中改良了穆爾的設計，並且成功的製作出指南車模型。一九七一年他根據史書記載，又成功的複製了馬鈞的『黃帝指南車』。大千世界中，忽而得之，忽而失之，得得失失，何干之於大千？？

那張衡的『候風地動儀』之後怎麼樣了？它又失傳了一千八百年。更神奇的是有人根據南朝劉宋時范曄所著《後漢書‧卷五十九‧張衡列傳第四十九》裡的『一百九十六』個字，讓它重現天日。

陽嘉元年，夏造候風地動儀。以精銅鑄成，員徑八尺，合蓋隆起，形似酒尊，飾以篆文山龜鳥獸之形。中有都柱，傍行八道，施關發機。外有八龍，首銜銅丸，下有蟾蜍，張口承之。其牙機巧制，皆隱在尊中，覆蓋周密無際。如有地動，尊則振龍機發吐丸，而蟾蜍銜之。振聲激揚，伺者因此覺知。雖一龍發機，而七首不動，尋其方面，乃知震之所在。驗之以事，合契若神。自書典所記，未之有也。嘗一龍機發而地不覺動，京師學者咸怪其無征，後數日驛至，果地震隴西，於是皆服其妙。自此以後，乃令史官記地動所從方起。

作者想張衡集文采與科技於一身，自然非比尋常，然而候風地動儀又非簡單玩意兒，三百年後的范曄竟能只用不到一百九十六個字，就將它描述清楚，這又是何等文字功夫，再一千五百年後，還有人能解讀范曄的這一百九十六個字，使張衡的候風地動儀再現，當真是奇也妙哉！果不能知這一百九十六個字的克勞德‧艾爾伍德‧夏農 Claude Elwood Shannon 之熵 Entropy 到底是有多少『比特』bit 值！！

既然叫做『候風地動儀』，它的命名必然有些來歷。西漢末年隨著社會的衝突加劇，『讖緯之學』開始廣泛大流行。《後漢書‧光武帝紀》光武帝於中元元年宣布『圖讖』於天下，把圖讖國教化。生於之後的張衡自當深知讖緯之術。就像『物候曆』的傳統，比如說《禮記‧月令》更是其來有自。然後發展成用『占候』來『預測』人事的『吉凶禍福』。因此命名裡那個『候』字應是指『徵候』，藉著此徵候來『預測』之義。而『風』字當是『風角』之術的觀『八方』風的用法，藉以表達『八個方位』的意思。如此看來這個候風地動儀的名義就是『測知八方地動之器』。在此引用《逸周書‧時訓解》以及《史記‧天官書》有關『風角』的一小段，以饗有興趣的讀者。

《逸周書‧時訓解》

立春之日，東風解凍，又五日，蟄蟲始振，又五日，魚上冰。風不解凍，號令不行，蟄蟲不振，陰氣奸陽，魚不上冰，甲冑私藏。驚蟄之日，獺祭魚，又五日，鴻鴈來，又五日，草木萌動。獺不祭魚，國多盜賊，鴻鴈不來，遠人不服，草木不萌動，果疏不熟。雨水之日，桃始華，又五日，倉庚鳴，又五日，鷹化為鳩。桃不始華，是謂陽否，倉庚不鳴，臣不從主，鷹不化鳩，寇戎數起。春分之日，玄鳥至，又五日，雷乃發聲，又五日，始電。玄鳥不至，婦人不娠，雷不發聲，諸侯失民，不始電，君無威震。穀雨之日，桐始華，又五日，田鼠化為鴽，又五日，虹始見。桐不華，歲有大寒，田鼠不化鴽，國多貪殘，虹不見，婦人苞亂。清明之日，萍始生，又五日，鳴鳩拂其羽，又五日，戴勝降于桑。萍不生，陰氣憤盈，鳴鳩不拂其羽，國不治兵，戴勝不降于桑，政教不中。立夏之日，螻蟈鳴，又五日，蚯蚓出，又五日，王瓜生。螻蟈不鳴，水潦淫漫，蚯蚓不出，嬖奪后命，王瓜不生，困於百姓。小滿之日，苦菜秀，又五日，靡草死，又五日，小暑至。苦菜不秀，賢人潛伏，靡草不死，國縱盜賊，小暑不至，是謂陰慝。芒種之日，螳螂生，又五日，鶪始鳴，又五日，反舌無聲。螳螂不生，是謂陰息，鶪不始鳴，令姦雍偪，反舌有聲，佞人在側。夏至之日，鹿角解，又五日，蜩始鳴，又五日，半夏生。鹿角不解，兵革不息，蜩不鳴，貴臣放逸，半夏不生，民多厲疾。小暑之日，溫風至，又五日，螅蟀居辟，又五日，鷹乃學習。溫風不生，國無寬教，螅蟀不居辟，恆急之暴，鷹不學習，不備戎盜。大暑之日，腐草為蠲，又五日，土潤溽暑，又五日，大雨時行。腐草不為蠲，穀實鮮落，土潤不溽暑，物不應罰，大雨不時行，國無恩澤。立秋之日，涼風至，又五日，白露降，又五日，寒蟬鳴。涼風不至，國無嚴政，白露不降，民多欬病，寒蟬不鳴，人皆力爭。處暑之日，鷹乃祭鳥，又五日，天地始肅，又五日，禾乃登。鷹不祭鳥，師旅無功，天地不肅，君臣乃□，農不登穀，暖氣為凶。白露之日，鴻鴈來，又五日，玄鳥歸，又五日，群鳥養羞。鴻鴈不來，遠人背畔，玄鳥不歸，室家離散，群鳥不養羞，下臣驕慢。秋分之日，雷始收聲，又五日，蟄蟲培戶，又五日，水始涸。雷不始收聲，諸侯淫汏，蟄蟲不培戶，民靡有賴，水不始涸，甲蟲為害。寒露之日，鴻鴈來賓，又五日，爵入大水為蛤，又五日，菊有黃華。鴻鴈不來，小民不服，爵不入大水，失時之極，菊無黃華，土不稼穡。霜降之日，豺乃祭獸，又五日，草木黃落，又五日，蟄蟲咸俯。豺不祭獸，爪牙不良，草木不黃落，是為愆陽，蟄蟲不咸俯，民多流亡。立冬之日，水始冰，又五日，地始凍，又五日，雉入大水為蜃。水不冰，是為陰負，地不始凍，咎徵之咎，雉不入大水，國多淫婦。小雪之日，虹藏不見，又五日，天氣上騰，地氣下降，又五日，閉塞而成冬。虹不藏，婦不專一，天氣不上騰，地氣不下降，君臣相嫉，不閉塞而成冬，母后淫佚。大雪之日，鶡旦不鳴，又五日，虎始交，又五日，荔挺生。鶡旦猶鳴，國有訛言，虎不始交，將帥不和，荔挺不生，卿士專權。冬至之日，蚯蚓結，又五日，麋角解，又五日，水泉動。蚯蚓不結，君政不行，麋角不解，兵甲不藏，水泉不動，陰不承陽。小寒之日，鴈北向，又五日，鵲始巢，又五日，雉始雊。鴈不北向，民不懷主，鵲不始巢，國不寧，雉不始雊，國大水。大寒之日，雞始乳，又五日，鷙鳥厲疾，又五日，水澤腹堅。雞不始乳，淫女亂男，鷙鳥不厲，國不除姦，水澤不腹堅，言乃不從。

《史記‧天官書》
而漢魏鮮集臘明正月旦決八風。風從南方來，大旱；西南，小旱；西方，有兵；西北，戎菽為，小雨，趣兵；北方，為中歲；東北，為上歲；東方，大水；東南，民有疾疫，歲惡。故八風各與其沖對，課多者為勝。多勝少，久勝亟，疾勝徐。旦至食，為麥；食至日昳，為稷；昳至餔，為黍；餔至下餔，為菽；下餔至日入，為麻。欲終日（有雨）有雲，有風，有日。日當其時者，深而多實；無雲有風日，當其時，淺而多實；有雲風，無日，當其時，深而少實；有日，無雲，不風，當其時者稼有敗。如食頃，小敗；熟五斗米頃，大敗。則風復起，有雲，其稼復起。各以其時用雲色占種（其）所宜。其雨雪若寒，歲惡。

易經《說卦傳》上《第十一章》講『震為雷為龍』，『震』又是『動』意思，所謂『帝出乎震』是說『春雷』振奮大地，也許正是張衡在候風地動儀上用『龍吐丸』的原因。據聞《南瞻部洲志》載

日有踆烏，月有蟾蜍。羿請不死之藥於西王母，嫦娥竊之以奔月。蟾蜍本乃嫦娥之茶寵，食余茶而化為仙獸，亦得仙奔月，是為月魄。初，月魄为三足，然其日食靈芝，夜食月桂，歷三千年而修成四足。后有吳剛者，為帝懲治而伐桂，斧起，樹創而瞬時癒之，歷八十一天始落一枝，月魄不勝其煩，遂銜桂枝而下界，有緣者可得其侍奉，謂之折桂也。

不知是否是因為『震位東方』而『兌在西方』為『月』，所以才用『月魄蟾蜍』銜之。加之以篆文與鳥獸之形，儼然是個『神器』。

俗話說︰時過境遷。這個『時境原則』在閱讀『歷史』的文獻時非常重要。人們很容易不自覺的把『字詞』的『此時』意義強加於『彼時』，以至於發生了『誤讀』現象。

范曄文中之『中有都柱，傍行八道，施關發機』是講候風地動儀的內部構造，故為『要點』。『都』字的造字本義是『有關卡城門把守的大城市』。『關』字是指『將門閂插進左右兩栓孔，緊閉大門』。『機』字是『事物發生的樞紐』。

在此我們將范曄之文，與『測知地震』有關的整理如下︰

一、『精銅鑄成，員徑八尺』，漢代一尺約現今 23.09 公分，可知直徑八尺的『酒尊』，真是『又大又重』。

二、『外有八龍，首銜銅丸，下有蟾蜍，張口承之』，平日沒地震時『銅丸』銜於『龍首』。

三、『其牙機巧制，皆隱在尊中，覆蓋周密無際。』，『密封的』很好，『牙巧』之『機制』隱於其中。

四、『如有地動，尊則振龍機發吐丸，而蟾蜍銜之。』，遇到地震時，『尊則振』同時『龍機發吐丸』，而且『蟾蜍銜之』。也就是說，地震會讓『尊』振動，且觸發了『牙機巧制』。

一九零六年美國舊金山大地震後， Henry Fielding Reid 根據觀測聖安地列斯斷層在地表的破裂面所得到的結論，提出了『彈性回跳理論』Elastic-rebound theory

假設地殼為彈性體受到應力時，會逐漸的變形累積應變能量。當應變能量累積到超過岩體中脆弱面強度時，岩體就會沿著此脆弱面滑動造成『地震』，此脆弱面就是一般所謂的『斷層』。
起始條件 Time 1：假設粗灰線為已有脆弱面，紅十字為參考點。
累積能量 Time 2：假使岩體遭受箭頭所指之力，使得藍色區域開始變形累積能量，這個積累過程可能短則數個月，但也可能常至幾千年。
發生地震 Time 3：當累積的能量超過岩體強度，岩體沿著箭頭方向產生相對位移，釋放積累之能量。這些能量以『熱能』或『地震波』或其它種方式展現。『地震波』則是造成『地震』的原因，通常會在數秒鐘到幾分鐘之內結束。

發生地震時，岩體將快速位移，所產生的推力會形成『壓縮波』稱之為 $P$ 波，沿著斷層面的相對位移則形成『剪力波』被叫做 $S$ 波。

從『司乃耳定律』可知，當波在穿越不同介質時，會發生『折射』與『反射』以及特殊條件下的『全反射』，並且偏向『低速介質』的『法線』。當地震波由『地殼內』向著『近地表』的『風化層』傳播時，由於『波速降低』，造成『地震波』折射時會更容易進入『近地表』。當地震波進入近地表的低速層之後，只要產生『全反射』，震波便會被侷限在低速層中，形成『陷波』 Trapped Wave 。不同的陷波會互相干涉，造成地層『共振』並且形成『駐波』 Standing Wave 在地表傳遞，也就是所謂的『表面波』。

地震波主要分為兩種，一種是『表面波』，一種是『實體波』。表面波只在地表傳遞，實體波能穿越地殼內部。

實體波 Body Wave 在地殼內部傳遞，又分成 $P$ 波和 $S$ 波兩種。
$P$ 波：『P』代表主要 Primary 或壓縮 Pressure ，是一種縱波，物質振動方向和波前進方平行，在所有地震波中，前進速度最快，也最早抵達。 $P$ 波能在固體、液體或氣體中傳遞。
$S$ 波：『S』意指次要 Secondary 或剪力 Shear ，前進速度僅次於 $P$ 波，物質振動方向垂直於波的前進方向，是一種橫波。 $S$ 波只能在固體中傳遞，無法穿過液態外地核。利用 $P$ 波和 $S$ 波的『傳遞速度』不同，產生的『走時差』，可作簡單的地震定位。

表面波 Surface Wave 一般淺層地震所引起的表面波最明顯。表面波具有『低頻率』、『高震幅』與會『色散』的特性，只在近地表傳遞，是最有威力的地震波。
樂夫波 Love Wave ：物質振動方向和波前進方向垂直，但振動只發生在水平方向上，沒有垂直分量，類似於 $S$ 波，差別是側向振幅會隨深度增加而減少。
雷利波 Rayleigh wave ：又稱為『地滾波』，粒子運動方式類似海浪，在垂直面上，粒子呈『逆時針橢圓形』振動，振幅一樣會隨深度增加而減少。

〈 $S-P$ 波走時差〉

當地震發生時， $P$ 波和 S波會以不同的波速向外傳播，由於不同『觀測點』的位置距離『震央』之遠近不同， $P$ 波與 $S$ 波抵達的『時間差』也就會不同。假使我們已知 $P$ 波及 $S$ 波的波速，下式可以得出一個『觀測點』與『震央』的距離

$\frac{R}{V_s}-{R \over V_p}= \Delta T$

$V_p=P$ 波速度， $V_s=S$ 波速度，
$R =$ 震央和測站距離， $\Delta T=$ 走時差

如果能有三個以上『適切』的『觀測點』之『數據』，就可以用『三角定位法』計算出『震央』所在地。

五、『振聲激揚，伺者因此覺知。』，『銅丸』入『蟾蜍』之口時，『震聲』高亢『激揚』。

六、『雖一龍發機，而七首不動，尋其方面，乃知震之所在。』

假使我們從『地震波』的一般『知識』來推測『候風地動儀』之『牙機巧制』，配合著『雖一龍發機，而七首不動，尋其方面，乃知震之所在。』之所述，那它的『機制』應當是針對 $P$ 波來設計『運作』的。只要『震波』一但超過了張衡所設計的『啟動震度』大小，就會依著『地震波』的來向，觸發了那個『機制』，因此就產生了對應方位的那個『龍機發吐丸』。

難到這樣果真就能『重現』候風地動儀了嗎？？

─── 待續…

【Sonic π】聲波之傳播原理︰拾遺篇《一》候風地動儀‧下 ───

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【Sonic π】聲波之傳播原理︰原理篇《四下》

2014-09-18 懸鉤子

如果我們將『受驅波動方程式』

${\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}= c^2{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 } + f(x, t)$

『初始狀態』── 位移和速度 ──

$u(x,0)=u_0(x),\qquad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=v_0(x)$

$u(x,t) = u_D(x,t) + \frac{1}{2c}\int_0^t\int_{x-c(t-T)}^{x+c(t-T)} f(\xi,T)\,d\xi\,dT$

$u_D(x, t) = \frac{1}{2}\left[u_0(x - c t) + u_0(x + c t)\right] + \frac{1}{2c} \int_{x - c t}^{x + c t} v_0(\xi) \, d\xi$

，與一個質量是 $m$ 受力為 $F(t)$ 的質點在 $x$ 軸上的『加速度運動』

$a = \frac {F(t)}{m} = f(t), \ x_0 =x(0), v_0 = \frac{dx}{dt}(0)$

$x(t) = x_0 + v_0 t + \int_0^t\int_0^T f(\xi)d\xi\,dT$

作個『項次對照』觀察之後，可以發現一個不受外力驅使的『波動傳播』，彷彿是一個『自由質點』依『初始狀態』作『慣性運動 』── 牛頓第一運動定律 ──，最主要的『差異』在於『波動』會自發的向『左右』傳播。比方講從『右向波』 $u_0(x - ct)$ 上看，假使一開始 $T = 0$ 就在『在波前』 $u_0(x)$ 的 $x_p$ 處作記號的『點』 $x_p$ ，它在 $T = t$ 的時刻會在 $x_p = x_p - 0_{initial} = \phi = x - ct = x_q - 0_{now} = x_q$ 的『當下處』 $x_q$ 之位置，也就是它們是說屬於『同一相位』 $\phi$ 的『波前』，由於『波前形狀』 $u_0(x_p) = u(\phi) = u(x -ct) = u_t(x_q)$ 對所有的『記號點』 $x_p$ 『相位相同』之點都『取值』一樣，所以可以說『右向波』是『保形的』；同理也能夠說明『左向波』 $u_0(x + ct)$ 也是『保形的』，因是之故當我們在『 $t^'$ 時刻』與『 $x^'$ 位置』來『觀察』這個波的時候，就會得到

$u(x^{'}, t^{'}) = \frac{1}{2}\left[u_0(x^{'} - c t^{'}) + u_0(x^{'} + c t^{'})\right] + \frac{1}{2c} \int_{x^{'} - c t^{'}}^{x^{'} + c t^{'}} v_0(\xi) \, d\xi$

。也就是說假使系統的『初始條件』使得那個波只能『向左』或者『向右』傳播，雖然在『均質無垠』不受系統外力的『介質』裡，更像是一個『勇往直前』的『保形自由波』，也難逃遇到『其他介質』時，『反射』與『折射』再度掀起『左右波瀾』。果真它是『身不由己』的嗎？？

當然一個『受驅之波』相似於『受力粒子』也會產生運動的『狀態改變』，然而就算『自由粒子』也不能不受約束『無窮加速』，更別說波的『傳播速度』本就是『受限的』，故在一般情況下，這個『波的演變』可能『極其複雜』，以至於『斑駁點點』，若想要『波瀾狀闊』還是很困難的了！更別說自然界又有『處處阻力』，宛如『受驅振子』外力『停歇』後，終將歸於『靜止』。以指撥弦欲求知音或許也只能夢寐以求的哇！！

假使從『因次分析』的觀點來看，向右波形 $u(\phi) = u(x - ct)$ 中 $\phi$ 的因次是『長度』，因此『通用解』的寫法恐非是適切的『物理表達式』。由於一個波的『頻率』 $\omega$ 、『波長』 $\lambda$ 和『速度』 $c$ 有一定的關係式︰ $c = \lambda \cdot \omega$ 。如果參考『單擺系統』的『時間』用『單擺週期』 $T = \frac{1}{w}$ 來度量，是一個『無因次純量』 $\frac{t}{T}$ ，那麼很自然的一個物理系統『空間』之『度量』，也應當用著該系統中的『長度物理量』，在此也就是那個波的『波長』 $\frac {x}{\lambda} = k \cdot x, \ k = \frac{1}{\lambda}$ 來表達， $\frac {x}{\lambda}$ 也是『無因次純量』。這樣向右波形就可以改寫成

$u^{'} = u^{'}(k x - \omega t), \ c = \frac{\omega}{k}$ 。

左圖是一些常見的波形，也就是 $u^{'}(\phi^{'})$ 對於相位 $\phi^{'}$ 的『函數圖形』。假使從『時刻』 $t_r$ 來觀看， $\phi^{'} = k ( x - x_r)$ ，此處 $x_r = \frac{\omega}{k} t_r$ ，就是此波的整體『空間樣態』。如果在『位置』 $x_p$ 作時察， $\phi^{'} = - \omega (t - t_p)$ ，此時 $t_p = \frac{k}{\omega} x_p$ ，也就是此波此處的『歷時形貌』，這就是一個波之『相位』的『時空觀』。因此更可以了解惠更斯所說『波前』的物理意義是以『時間』為軸，來描述波的『空間樣態』到底會如何『隨時變化』。

光的『色散現象』說明不同『頻率』的波，在一個『介質』裡傳播的『速度』可以不同，也就是說它們的『波長』不一樣。通常用色散關係
$\omega(k)= v(k)\ k$
表示。此處的 $v(k)$ 就是『波數』 $k$ 的『波速函數』。假使一個『波形』是由多個『頻率』組成，在『色散介質』中傳播，長時間來看大概很難『保形』的了。短時間的觀點來說，我們講那個『波包』wave packet 整體用著 $v_g = \frac {d \omega(k)}{dk}$ 的群速度在變化。左圖是深水『表面重力』波，圖中用著『紅點』表示『相速度』，以及『綠點』表示『群速度』。

那麼對於一個不產生色散的介質 $\omega(k)= c\ k$ 來講，各個頻率的成份波都跑得一樣快，這時

$v_p = \frac {\omega}{k} = c = \frac {d \omega}{dk} = v_g$

，也許將可以保其『形色』的了。色散現象引發了『光學系統』裡的『色差』，產生『透鏡工藝』中需要搭配不同『折射率』的『光學材料』，這是製作『好的透鏡』的重要條件之一。

駐波形成

在一輛長列『左行』的火車上有一個很長的『水槽』，上有一向右的『行進波』
$u(x, t) = A(x,\ t)\sin (kx - \omega t + \phi)$
，假使向左的火車與向右之水波速度相同，那麼一位站在月台的『觀察者』將如何描述那個『行進波』的呢？

如果觀察水由水龍頭注入水槽的現象，由於水在到達槽底前的流速『較快』，然而到達槽底後水的流速突然的『變慢』，因此會發生『水躍』Hydraulic jump 的現象，此時水之部份動能將轉換為位能，故而在槽底的液面形成『駐波』。這個現象在『河水』的『流速』突然『由快變慢』時也可能發生，因而有人能在『河裡衝浪』，他正站在『駐波』之上！！

那什麼是『駐波』的呢？比方說一個『不動的』stationary 介質中，向左的波 $u_l(k x + \omega t)$ 與向右的波 $u_r(k x - \omega t)$ 疊加後的『合成波』 $u_l +u_r$ ，在『特定』的『邊界條件』下，被『侷限』在一定『空間區域』內無法前進，因此稱為『駐波』。由於駐波不能傳播能量，它的能量將『儲存』在那個空間區域裡。駐波所在區域，『振幅為零』的點稱為『節點』或『波節』Node ，『振幅最大』的點位於兩『節點』之間，通常叫做『腹點』或『波腹』Antinode。

一根長度 $L$ 震盪的弦上，一個向右的簡諧波 $u_r = u_0 \sin(kx - \omega t)$ ，由於弦的兩頭固定，那個波在右端點也只能『反射』回來，形成了 $u_l = u_0 \sin(kx + \omega t)$ ，此時合成波 $u = u_l + u_r$ 是
$u\; = u_0\sin(kx - \omega t) + u_0 \sin(kx + \omega t)$
，可用三角恆等式簡化為
$u = 2 u_0\cos(\omega t)\sin(kx)$
。此時『時間項』與『空間項』分離，形成『駐波』。在 $kx = n \pi$ 時， $\sin(kx) = 0$ ，此處 $n$ 是整數，這就是『節點』；當 $kx = n \pi + \frac{\pi}{2}$ 時 $\parallel \sin(kx) = 1 \parallel$ ，也就是『腹點』。當然波長 $\lambda$ 就得滿足 $\lambda = \frac {L}{n \pi}$ 的邊界條件。

─── 琴弦擇音而振，苟非知音焉得共鳴。───

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【Sonic π】聲波之傳播原理︰原理篇《四中》

2014-09-17 懸鉤子

何謂『線性系統』？假使從『系統論』的觀點來看，一個物理系統 $S$ ，如果它的『輸入輸出』或者講『刺激響應』滿足

設使 $I_m(\cdots, t) \Rightarrow_{S} O_m(\cdots, t)$ ， $I_n(\cdots, t) \Rightarrow_{S} O_n(\cdots, t)$ ，

那麼 $\alpha \cdot I_m(\cdots, t) + \beta \cdot I_n(\cdots, t) \Rightarrow_{S} \alpha \cdot O_m(\cdots, t) + \beta \cdot O_n(\cdots, t)$

也就是說一個線線系統︰無因就無果、小因得小果，大因得大果，眾因所得果為各因之果之總計。

如果一個線性系統還滿足

$\left[I_m(\cdots, t) \Rightarrow_{S} O_m(\cdots, t)\right] \Rightarrow_{S} \left[I_m(\cdots, t + \tau) \Rightarrow_{S} O_m(\cdots, t + \tau)\right]$

，這個系統稱作『線性非時變系統』。系統中的『因果關係』是『恆常的』不隨著時間變化，因此『遲延之因』生『遲延之果』。線性非時變 LTI Linear time-invariant theory 系統論之基本結論是

任何 LTI 系統都可以完全祇用一個單一方程式來表示，稱之為系統的『衝激響應』。系統的輸出可以簡單表示為輸入信號與系統的『衝激響應』的『卷積』Convolution 。

雖然很多的『基礎現象』之『物理模型』可以用 LTI 系統來描述。即使已經知道一個系統是『非線性』的，將它在尚未解出之『所稱解』── 比方說『熱力平衡』時 ── 附近作系統的『線性化』處理，以了解這個系統在『那時那裡』的行為，卻是常有之事。

科技理論上偏好『線性系統』，並非只是為了『數學求解』的容易性，尤其是在現今所謂的『雲端計算』時代，祇是一般『數值解答』通常不能提供『深入理解』那個『物理現象』背後的『因果機制』的原由，所以用著『線性化』來『解析』系統『局部行為』，大概也是『不得不』的吧！就像『混沌現象』與『巨變理論』述說著『自然之大，無奇不有』，要如何『詮釋現象』難道會是『不可說』的嗎？？

一般物理上所謂的『疊加原理』 Superposition Principle 就是說該系統是一個線性系統。物理上還有一個『局部原理』Principle of Locality 是講︰一個物體的『運動』與『變化』，只會受到它『所在位置』的『周遭影響』。所以此原理排斥『超距作用』，因此『萬有引力』為『廣義相對論』所取代；且電磁學的『馬克士威方程式』取消了『庫倫作用力』。這也就是許多物理學家很在意『量子糾纏』的原因！俗語說『好事不出門，壞事傳千里』是否是違背了『局部原理』的呢？？

蘇格蘭的哲學家大衛‧休謨 David Hume 經驗論大師，一位徹底的懷疑主義者，反對『因果原理』Causality，認為因果不過是一種『心理感覺』。好比奧地利‧捷克物理學家恩斯特‧馬赫 Ernst Mach 在《Die Mechanik in ihrer Entwicklung, Historisch-kritisch dargestellt》一書中講根本不需要『萬有引力』之『名』與『因』，直接說任何具有質量的兩物間，會有滿足

$m_1 \frac{d^2 {\mathbf r}_1 }{ dt^2} = -\frac{m_1 m_2 g ({\mathbf r}_1 - {\mathbf r}_2)}{ |{\mathbf r}_1 - {\mathbf r}_2|^3};\; m_2 \frac{d^2 {\mathbf r}_2 }{dt^2} = -\frac{m_1 m_2 g ({\mathbf r}_2 - {\mathbf r}_1) }{ |{\mathbf r}_2 - {\mathbf r}_1|^3}$

方程組的就好了；他進一步講牛頓所說的『力』根本是『贅語』，那不過只是物質間的一種『交互作用』interaction 罷了！當真是『緣起性空。萬法歸一，一歸於宗。』的嗎？？

十八世紀時，法國的物理學數學家杜哈梅 Jean-Marie Duhamel 在解決『偏微分熱傳導方程式』時所發現的『求解辦法』，求解過程使用著物理上『因果原理』，今天稱之為『杜哈梅原理』是一種求解『非齊次線性常微分方程式』的方法。就讓我們藉此方法，換個方式深化理解『波傳播』的現象的『物理解釋』。

首先引用《【Sonic π】聲波之傳播原理︰原理篇《三》》一文中的『彈簧鏈模型』

假使位於 $u(x+h)$ 處質點除了受到了 $F_{Newton} , \ F_{Hooke}$ 之力，還遭受到外力 $F(x, t)$ ，因此

$m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)] + F(x, t)$

它可以用整個物理系統的常量 $L, M, K$ 將上式改寫為

${\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^2} + {L \over {M h}} F(x, t)$

這個系統的波動方程式為

${\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}= c^2{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 } + f(x, t)$

此處波速 $c = \sqrt {\frac{{KL^2 }}{M}}$ ， $f(x, t)$ 是每單位線段質量的所受之力，因次是『加速度』。如果說這個彈簧鏈模型是『自然現象』的『適當』物理模型，那麼無論這根『弦』現在是在什麼樣的『物理狀態』，只要我們知道它的『初始狀態』── 位移和速度 ──

$u(x,0)=u_0(x),\qquad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=v_0(x)$

，這個方程式都該能『求解』。更廣義的講它也該能從任何 $T$ 時刻的『物理狀態』

$u(x,T)=u_T(x),\qquad \frac{\partial u}{\partial t}(x,T)=v_T(x)$

來求解。假使設想此系統從 $T$ 時刻『演化』到 $T + dT$ 時刻，這時系統的『外力』 $f(x, t)$ 的『貢獻』就必須在求解裡『被加上』，由於這個外力的『作用』就是將此弦的速度改變了 $f(x,T)dT$ ，因此這『等同於』求解在 $T$ 時刻『不受外力』波動方程式

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0$

，有一個如給定的『新始狀態』

$u(x,T)=0,\qquad \frac{\partial u}{\partial t}(x,T)=f(x,T)dT$

，這個方程式的解就是，系統所受的外力 $f(x, t)$ ，在 $T$ 至 $T+dT$ 『時距』中的『貢獻值』

$\left(\frac{1}{2c}\int_{x-c(t-T)}^{x+c(t-T)} f(\xi,T)\,d\xi\right) dT$

，從『疊加原理』可以知道原先的『初始狀態』方程式的解是

$u(x,t) = u_D(x,t) + \frac{1}{2c}\int_0^t\int_{x-c(t-T)}^{x+c(t-T)} f(\xi,T)\,d\xi\,dT$

，也就是說它是系統『外力』 $f(x, t)$ 從『初始時刻』 $T = 0$ 到『當下時刻』 $T = t$ 的『總作用量』，疊加上『假使沒有外力』作用情況下，系統『固有』的『傳播作用』 $u_D(x,t)$ 在 $T = t$ 的值，也就是『達朗貝爾公式解』。至此我們也就可以用物理來解釋為什麼『波源』的『振動』和『波傳播』之現象間有著『難分難解』的關係。

科學技術的內容已經愈來愈『廣博且複雜』，那要如何『掌握』的呢？也許仔細思考『基本現象』，深入了解『基礎原理』，善用多種『學習工具』，培養『想像力』使之飛揚，終至於能舉一反三，又可聞一知十，其要點總在於『一以貫之』。

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

【Sonic π】聲波之傳播原理︰原理篇《四上》

2014-09-16 懸鉤子

在數學上的『數』和物理中之『量』，其實是兩種『不同概念』。『物理量』是從『度量』而來，所以會擁有『度量單位』，比方講『時間︰秒』、『長度︰米』與『質量︰公斤』等等；然而『數學數』卻是『沒有單位』dimensionless 的，它屬於『抽象』之『值』的概念，就像說從『三朵花』、『三個人』和『三件事』 …，得出了『三』這個『數』，那裡頭並沒有『朵‧個‧件』這些的單位。一八六零年代英國科學家馬克士威 Maxwell 及克耳文 Kelvin 提出『公分‧克‧秒』的 CGS 制，是第一個有連貫性的公制系統。一八七四年英國科學促進會 BAAS 正式推動此公制系統。這一個公制系統的特點是『密度』為 $\frac{g}{{cm}^3}$ ，『力』是達因 $dyne$ ，與『機械能』稱爾格 $erg$ ，將『熱能』的『單位』叫做卡路里︰定義為一克的水由溫度 15.5 °C 加溫至 16.5 °C 所需的熱量。由於 CGS 制在電學上有二套不同的單位系統，一者是靜電單位 ESU 制，另一者是電磁單位 EMU 制，這就造成了使用上的不方便。一八九三年在芝加哥舉行的國際電工代表大會 International Electrical Congress 使用基於『米‧公斤‧秒』的定義，重新定義電流單位『國際安培』。一九零一年時，義大利科學家喬吉‧喬望尼 Giovanni Giorg 發現假使增加一個電學的單位為基礎單位，可以解決電學單位不一致的問題，比方說『米‧公斤‧秒‧庫侖』 MKSC 制或是『米‧公斤‧秒‧安培』 MKSA 制。現今 MKS 『國際單位制』是使用最廣的單位系統，從喬吉所提出的『MKSA 制』延伸而得，其基礎單位為『米‧公斤‧秒‧安培‧熱力學溫標‧燭光及莫耳』。在二零一一年十月舉行的第二十四屆國際度量衡大會已經提議更改四個基礎單位的定義，即將成為新國際單位制之定義，不過上述的修改並不會影響一般人的『單位使用』。怪哉！遽聞至今『美國』都沒有採用 MKS 『國際標準制』！！

為什麼要討論『物理量』的『單位』呢？因為一般物理定律都用著『數學式』表達，萬一所計算的物理量發生了『 1 公斤 + 6 米 – 8 秒 』，這可能要比南宋著名禪宗大師大慧宗杲，是臨濟宗楊岐派第五代傳人，所提倡的『看話禪』── 舉個例說︰『萬法歸一，一歸何處？』── 還要『難參無解』。據說物理量使用單位的『因次分析』dimensional analysis 始於牛頓之『相似性原理』；就建立因次分析的現代意義用法上講，馬克士威是位重要的推手，他區分『質量』、『長度』、『時間』的度量單位為『基礎單位』，將其它單位歸類為『衍生單位』。十九世紀時法國數學家約瑟夫‧傅立葉 Joseph Fourier 洞悉了『物理定律』的『數學方程式』應當與度量物理量的『單位無關』。難道說一個人用『 □□ 制』單位，另一個人用『○○制』單位，他們的牛頓第二運動定律 $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$ 就因此會是『兩種』的嗎？假使兩人描述『同一』自然現象，在彼此使用的『單位換算』後，竟然能夠是『答案不同』的嗎？？

那什麼是物理量的『因次』呢？舉個例子，在 $MKS$ 制中，一般力的『度量單位』是『牛頓』Newton，通常用 $N$ 代表。那你怎麼知道『一牛頓的力』有多大呢？其實它有個『定義』︰

$1 N$ $\equiv_{df}$ 使質量 $1 kg$ 物體的加速度為 $1 \frac{m}{s^2}}$ 時所需要的力

。那麼這個定義又從哪裡來的呢？它就是從牛頓第二運動定律 $F = m \cdot a$ 來的，因此 $F$ 之『 $N$ 』那個單位與 $m \cdot a$ 的『 $kg \cdot \frac{m}{s^2}}$ 』這個度量單位，都是表達牛頓第二運動定律中『力』、『質量』和『加速度』的『概念』間的『物理量』的『單位度量關係』。由於我們是從『質量』和『加速度』的基礎物理量之『大小』，來定義『力的單位』，所以說『牛頓』是一個衍生的『導出單位』。如果比較 CGS 制『一達因的力』之『定義』

$1 dyne$ $\equiv_{df}$ 使質量 $1 g$ 物體的加速度為 $1 \frac{cm}{s^2}}$ 時所需要的力

，所以 $1 N = 1 \frac{kg \cdot m}{s^2}} = \frac{1000 g \cdot 100 cm}{s^2}} = 10^5 \frac{g \cdot cm}{s^2}} = 10^5 dyne$

。仔細考察『單位轉換』的過程，『 $1 kg = 1000 g$ 』，而『 $kg, g$ 』都是『質量度量』單位，同樣的『 $1 m = 100 cm$ 』中之『 $m, cm$ 』都是『長度度量』單位。由於『自然界』並沒有偏好哪一種『度量單位』，它的選擇當然是『人為的』。其次『相同』的『度量領域』的『單位變換』，它的『變換係數』通常是無單位的數值『常數』，比方說『 $1 m = {10}^2 cm$ 』中之『 ${10}^2$ 』，或者『 $1 kg = {10}^3 g$ 』裡的『 ${10}^3$ 』，因為它們都是同類的度量單位。於是我們可以說『因次』就是『物理單位』中『物理概念』的『度量抽象』。舉例來講，不論長度的度量單位是『米、公分、尺、…』，我們都說這個『物理量』的『因次』是『長度』。這樣一個物理量的因次就可以由是基本的『質量』、『長度』、『時間』、『電荷量』、『絕對溫度』…組合，藉由對應的『因次符號』『M』、『L』、『T』、『Q』、『 $\Theta$ 』…來表達，將該物理量的因次寫成『 $M^{q_1} \cdot L^{q_2} \cdot T^{q_3} \cdot Q^{q_4} \cdot {\Theta}^{q_5} \cdots$ 』，此處的 $q_1, q_2, q_3, \cdots$ 都是『有理數』。

假使說發現了一個物理定律，就說是『彈簧』的『虎克定律』 $F = k \cdot x$ 吧，那麼虎克常數『 $k$ 』的因次是什麼呢？如果將這個線性彈簧施加『1 N』的力，它從平衡處位移了『 $\alpha \cdot m$ 』，此處 $\alpha$ 是『無因次』的『純量』。這樣依據『虎刻定律』

$1 N = 1 kg \cdot \frac{m}{s^2}} = k \cdot \alpha \cdot m$

，因此 $k = {\alpha}^{-1} \frac{kg}{s^2}}$ ， $k$ 的因次是 $M \cdot T^{-2}$ ，也許有人想還是『牛頓/米』比較親切的啊！這個『每秒每秒幾公斤』到底是什麼的嗎？？事實上『自然定律』將各個『物理概念』聯繫了起來，於是『同類現象』或者『運動現象』在『度量上』需要與『已經定義』的『單位』保有『一致性』，能夠彼此『相容』。就像牛頓的『萬有引力』定律 $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ ，既然是『力的範疇』，那個『萬有引力常數』 $G$

$G = \left(6.67384 \plusmn 0.00080 \right) \times 10^{-11} \ \mbox{m}^3 \ \mbox{kg}^{-1} \ \mbox{s}^{-2}$

的『單位』就得確保最終 $G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ 是『力』的單位，而且符合『一牛頓的力』度量之大小『定義』。當然它的因次 $L^3 \cdot M^{-1} \cdot T^{-2}$ 就是『抽象』的了！要是說道兩靜電荷間作用力的『庫侖定律』

$F = k_{\mathrm{e}}\frac{qq'}{r^2}$ ，
$k_{\mathrm{e}} = 8.987\ \times 10^9 \ \mathrm{N \cdot m^2 \cdot C^{-2}}$

，就怕那個『庫侖常數』 $k_{\mathrm{e}}$ 的『因次』 $M \cdot L^3 \cdot T^{-2} \cdot Q^{-2}$ 會是『天書』的吧！其實這卻是許多『物理常數』的由來！！

如果回顧一下《【Sonic π】聲波之傳播原理︰振動篇》一文︰

依據牛頓第二運動定律，一個簡諧振子的方程式為

$F = m a = m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k x$ ，它的解是

$x(t) = A\cos\left( \omega t+\phi\right)$ ，此處 $\phi$ 是『相位角』，

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{2\pi}{T}$ ，式中 $\omega$ 是『角頻率』， $T$ 是『周期』。

也就是說簡諧振子是一種『頻率』為 $f = \frac {1}{T}$ ，『振幅』為 $A$ 的週期運動。

從『因次分析』的觀點來看簡諧振子的位移 $x(t) = A\cos\left( \omega t+\phi\right)$
，因為 $\cos x$ 是『超越函數』Transcendental function，不可能表達成『有限項的多項式』，假使變數 $x$ 是由多個『物理量』構成的，最終一定得是『無因次』的『純量』。由於只有『相同因次』的物理量才能相加，所以只需考察一下 $\cos x$ 的『泰勒級數』 Taylor series 展開式

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad \forall x$

就能知道。這也就是解之中以 $\omega t = 2 \pi \frac{t}{T}$ 形式出現的因由。其實『時間』 $t$ 用著這個物理系統的『周期』特徵 $T$ 為『單位』來度量，藉著『無因次參數』更能自然表達這個『物理系統』基本性質。因此將『受驅振子』使用『參數』改寫成

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 x = \frac{F(t)}{m}$ ，此處 $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ 稱為『無阻尼』角頻率，而 $\zeta = \frac{c}{2 \sqrt{mk}}$ 叫做『阻尼比率』。

就彰顯了系統的『物理性質』，以及那些『物理參數』的『物理意義』。一八九二年英國物理學家約翰‧斯特拉特‧第三代瑞利男爵 John Strutt, 3rd Baron Rayleigh 在《On the question of the stability of the flow of liquids》使用『因次分析』方法『啟發式論證』某些物理量之間的關係，方使得因次分析之法廣為人知。

就讓我們藉著『單擺』說明因次分析的方法吧！

假使我們『揣想』這的『單擺』會是某種『周期運動』，因此那個周期 $T$ 就可能用著『相依』於系統的物理量 $m, l, g$ 的組合，如果用數學式表達為 $T = F(m, l, g)$ ，這樣 $F(m, l, g)$ 的因次必須是『時間』，假設 $F$ 中的一般項是 $m^{a_1} \cdot l^{a_2} \cdot g^{a_3}$ ，於是
$T = M^{a_1} \cdot L^{a_2} \cdot {(L \cdot T^{-2})}^{a_3}$
，將各個『因次』求解後得到 $a_1 = 0, \ a_2 = \frac{1}{2}, \ a_3 = - \frac{1}{2}$