每日彙整: 2017-03-17

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

時間序列︰生成函數‧漸近展開︰無限大等級 II

無限大 \infty 巨量也，比任何給定的正量都大。它的倒數 \frac{1}{\infty} 是無窮小也，故比任何給定的正量都小。如果無限大有等級，當然無窮小也有等級的了。過去作者曾經寫過一系列文本《【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧上》介紹  Robinson 先生之直觀微積分︰

一九六零年，德國數學家『亞伯拉罕‧魯濱遜』 Abraham Robinson 將『萊布尼茲』的微分直觀落實。 用嚴謹的方法來定義和運算實數的『無窮小』與『無限大』，這就是數學史上著名的『非標準微積分』Non-standard calculus ，可說是『非標準分析』non-standard analysis 之父。

就像『複數』 C 是『實數系』 R 的『擴張』一樣，他將『實數系』增入了『無窮小』 infinitesimals 元素 \delta x ，魯濱遜創造出『超實數』 hyperreals r^{*} = r + \delta x，形成了『超實數系』 R^{*}。那這個『無窮小』是什麼樣的『數』呢？對於『正無窮小』來說，任何給定的『正數』都比要它大，就『負無窮小』來講，它大於任何給定的『負數』。 『零』也就自然的被看成『實數系』裡的『無窮小』的了。假使我們說兩個超實數 a, b, \ a \neq b 是『無限的鄰近』 indefinitly close，記作 a \approx b 是指 b -a \approx 0 是個『無窮小』量。在這個觀點下，『無窮小』量不滿足『實數』的『阿基米德性質』。也就是說，對於任意給定的 m 來講， m \cdot \delta x 為『無窮小』量；而 \frac{1}{\delta x} 是『無限大』量。然而在『系統』與『自然』的『擴張』下，『超實數』的『算術』符合所有一般『代數法則』。

hyperreals

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220px-Sentido_geometrico_del_diferencial_de_una_funcion

速度里程表

有人把『超實數』想像成『數原子』，一個環繞著『無窮小』數的『實數』。就像『複數』有『實部』 R_e 與『虛部』 I_m 取值『運算』一樣，『超實數』也有一個取值『運算』叫做『標準部份函數』Standard part function

st(r^{*}) = st(r + \delta x)
= st(r) + st(\delta x) = r + 0 = r

。 如此一個『函數』 f(x) 在 x_0 是『連續的』就可以表示成『如果 x \approx x_0, \ x \neq x_0，可以得到 f(x) \approx f(x_0)』。

假使 y = x^2，那麼 y 的『斜率』就可以這麼計算

\frac{dy}{dx} = st \left[ \frac{\Delta y}{\Delta x} \right] = st \left[ \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} \right]
= st \left[2 x + \Delta x \right] = 2 x

。 彷彿在用著可以調整『放大倍率』的『顯微鏡』逐步『觀入』 zoom in 一個『函數』，隨著『解析度』的提高，函數之『曲率』逐漸減小，越來越『逼近』一條『直線』── 某點的切線 ── 的啊！！

同樣的『積分』就像是『里程表』的『累計』一樣，可以用

\forall 0 < \delta x \approx 0, \ \int_{a}^{b} dx \approx f(a)\delta x + f(a + \delta x)\delta x + \cdots + f(b - \delta x)\delta x

來表示的呀！！

─── 摘自《【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧中》

 

希望讀者能夠深入理解實數的基本性質，以及由之而來的各種抽象論證︰

1280px-Supremum_illustration

最小上界性質

Let S be a non-empty set of real numbers:
A real number x is called an upper bound for S if x ≥ s for all s ∈ S. A real number x is the least upper bound (or supremum) for S if x is an upper bound for S and x ≤ y for every upper bound y of S.

從『疊套區間』的觀點來看，一個『超實數』 r^{*} = r + \delta x 就可以表達成 [r - \delta \epsilon, r + \delta \epsilon]，而且說 st \left( [r - \delta \epsilon, r + \delta \epsilon] \right) = \{r\}，由於它只有『唯一的』一個元素，所以被稱作『單子集合』 singleton set。假使我們思考一個『單調上升有上界』 a_n, a_{n+1} > a_n, a_n < U, n=1 \cdots n 的『序列』，會發現它一定有『最小上界』。假設 H 是一個『巨量』，那麼 st \left( \bigcap \limits_{1}^{\infty} [a_n, 2 a_H -a_n] = a_{\infty} \right)

。這就是『實數』的『基本性質』，任何一有極限的『序列』收斂於一個『唯一』的『實數』，一般稱之為『實數』的『完備性』 completeness，由於我們是站在『超實數』的立場，選擇了『疊套區間』的觀點，加之以『無窮小』量不滿足『實數』的『阿基米德性質』，所以這個『實數』的『完備性』只是從『疊套區間』確定了一個『單子集合』 推導的結論。對比著來看，這一個『有理數』序列 x_0 = 1, x_{n+1} = \frac{x_n + \frac{2}{x_n}}{2} 的『極限』 x_{\infty} = \sqrt{2} ，它可從求解 x_H = \frac{x_H + \frac{2}{x_H}}{2} 得到，然而它並不是『有理數』，所以說『有理數』不具有『完備性』 。那麼對一個『非空有上界』的『集合』 S，也可以用『二分逼近法』論證如下︰

由 於 S 有上界，就說是 b_1 吧，因為 S 不是空集合，一定有一個元素 a_1 不是它的上界。這兩個序列可以遞迴的如此定義，計算 \frac{a_n + b_n}{2}，如果它是 S 的上界，那麼 a_{n+1} = a_n, \ b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}，否則 S 中必有一個元素 s，而且 s > \frac{a_n + b_n}{2}，此時選擇 a_{n+1} = s, \ b_{n+1} = b_n，如此 a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \cdots \leq b_3 \leq b_2 \leq b_1 而且 a_H - b_H \approx 0，所以一定存在一個 L = a_{\infty} = b_{\infty}，此為 S 之最小上界。

同理 S 的補集 R - S 就會有『下界』，而且會有『最大下界』。因此我們將一個有『上界』與『下界』的集合，簡稱之為『有界集合』。

『實數集合』的『最小上界』性質，可以用來證明『實數分析』上的多條定理，在此僅列舉幾條『常用的』︰

【波爾查諾‧魏爾斯特拉斯定理】 任一實數 R 中的有界序列 (x_n)_{n\in\mathbb{N} 至少包含一個收斂的子序列。

讓我們從 x_n 中選擇元素，建構一個『峰值集合』 S = \{ a_k : \forall n \geq k, \ a_k \geq x_n \}，假使 S 的元素是『有限的』，就可將之大小『排序』，建立序列 (s_k: s_k \leq s_{k+1})。如果 S 的元素是『無限的』，我們依然可以用『下標』 p 遞增的方式從 S 中選擇建立『序列』(a_p: a_p \leq a_{p+1})，這兩者都是『單調上升有界』的序列，所以必然會有『最小上界』。

【極值定理】如果實數函數 f 是閉區間 [a, b]上的『連續函數』，那麼它在其間一定會有『最大值』和『最小值』。也就是說，存在 c, d \in [a,b] 兩個『極值』使得 \forall x \in [a, b], \ f(c) \geq f(x) \geq f(d)。

假設函數 f 沒有上界。那麼，根據實數的『阿基米德性質』，對於每一個自然數 n，都可以有一個 x_n \in [a, b]，使得 f(x_n) > n，這就構成了一個『有界的序列』 x_n，然而依據『波爾查諾‧魏爾斯特拉斯定理』，這個 x_n 序列至少會有一個收斂的『子序列』 x_{n_k}，就稱它的極限值是 x_H，此處 H 是『巨量』。因為 f 在閉區間 [a, b] 中『連續』，於是 f(x_H) 也是『有限量』，然而依據『假設』 f(x_H) > H \approx \infty，故而矛盾，所以實數函數 f 是有『上界的』。只需考慮 -f，從它有『上界』，就可以得到 f 一定有『下界』的吧！也就是說一個實數的『連續』函數，因其『連續性』將一個『定義域』的『閉區間』映射到『對應域』的『閉區間』，所以也必將『無窮小』閉區間 [x - \delta x, x + \delta x] 映射到『無窮小』閉區間 [f(x) - \epsilon, f(x) + \epsilon] 的啊！！事實上，『無窮小』閉區間 [x - \delta x, x + \delta x] 可以看成 x 點的『鄰域』，難道說所謂的函數 f 在 x 點『連續』，f 可能不在這個『無窮小鄰域』裡無限的『逼近』 f(x) 的嗎？？

【羅爾定理】如果一個實數函數 f(x) 滿足

在閉區間 [a, b] 上『連續』；
在開區間 (a,b) 內『可微分』；
在區間端點處的函數值相等，即 f(a) = f(b)，

那麼在開區間 (a,b) 之內至少有一點 x_s, \ a < x_s < b，使得 \frac{df(x)}{dx} (x_s) = f^\prime(x_s) = 0。

根據『極值定理』 ，實數函數 f 在閉區間 [a, b] 裡有『極大值』 M 和『極小值』 m，如果它們都同時發生在『端點』 a 或 b 處，由於 f(a) = f(b) 而且 m \leq f(x) \leq M, x \in (a, b)，因此 f(x) = m = M 是一個『常數函數』，所以 \frac{df}{dx} = \frac{f(x + \delta x) - f(x)} {\delta x} = f^\prime(x) = 0。除此之外『極大值』 M 或『極小值』 m 之一只能發生在開區間 (a, b) 之內，假設於 \xi 處取得了『極大值』 M = f(\xi)，因此 f(\xi - \delta x) \leq M，而且 f(\xi + \delta x) \leq M，由於 \delta x > 0， \frac{df}{dx}(\xi) = \frac{f(\xi + \delta x) - f(\xi)} {\delta x} \leq 0，同時 -\delta x < 0， \frac{df}{dx}(\xi) = \frac{f(\xi - \delta x) - f(\xi)} {-\delta x} \geq 0，再由於函數 f 在 \xi 處『可微分』，所以 \frac{df}{dx}(\xi) = f^\prime(\xi) = 0。同理也可以證明 f 有『極小值』 m = f(\eta) 時，\frac{df}{dx}(\eta) = f^\prime(\eta) = 0。也可以講『羅爾定理』將『連續性』、『可微分性』與『極值』聯繫了起來，在此強調那個『可微分』的條件是『必要的』。舉個例子說，函數 y = | x | 在 x = 0 處有『極小值』，考慮它的『無窮小鄰域』 [- \delta x, \delta x]，右方逼近的『導數』是 \frac{| \delta x | - | 0 |}{\delta x} = 1，然而左方逼近的『導數』是 \frac{|- \delta x | - | 0 |}{- \delta x} = -1，因此這個函數於『此點』不可微分，此時當然『羅爾定理』也就不適用的了！！

【均值定理】一個實數函數 f 在閉區間 [a, b] 裡『連續』且於開區間 [a, b] 中『可微分』，那麼一定存在一點 c, \ a < c < b 使得此點的『切線斜率』等於兩端點間的『割線斜率』，即 f^{\prime}(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}。

假使藉著 f(x) 定義一個函數 g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} x，這個 g(x) 函數在閉區間 [a, b] 裡『連續』且於開區間 [a, b] 中『可微分』，同時 g(a) = g(b) = \frac{b f(a) - a f(b)}{b - a}，於是依據『羅爾定理』一定有一點 c 使得 g^{\prime}(c) = 0 = f^{\prime}(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}，所以 f^{\prime}(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}。

220px-Monotonicity_example2

Bolzano–Weierstrass theorem

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300px-Extreme_Value_Theorem.svg

極值定理

Archimedean property

阿基米德性質

hyperrealsystem

hyperinteger

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Rolle’s theorem

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Absolute_value.svg

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均值定理

300px-拉格朗日中值定理

g(x) = f(x) - rx, \ r = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

─── 摘自《【Sonic π】電路學之補充《四》無窮小算術‧下》

 

通熟者或只需告之定義 h(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} g(x) ，知道 h(a) = h(b) = \frac{f(a) g(b) - f(b) g(a)}{g(b) - g(a)} ，就可以從『羅爾定理』證明

柯西均值定理

柯西均值定理，也叫拓展均值定理，是均值定理的一般形式。它敘述為：如果函數f和g都在閉區間[a,b]上連續，且在開區間(a, b)上可導，那麼存在某個c ∈ (a,b),使得

柯西定理的幾何意義

(f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c).\,

當然，如果g(a) ≠ g(b)並且g′(c) ≠ 0,這等價於：

\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot

在幾何上，這表示曲線

\begin{array}{ccc}[a,b]&\longrightarrow&\mathbb{R}^2\\t&\mapsto&\bigl(f(t),g(t)\bigr),\end{array}

的圖像存在平行於由(f(a),g(a))和(f(b),g(b))確定的直線的切線。但柯西定理不能表明在任何情況下不同的兩點(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切線，因為可能存在一些c值使f′(c) = g′(c) = 0,換句話說取某個值時位於曲線的駐點;在這些點似乎曲線根本沒有切線。下面是這種情形的一個例子

t\mapsto(t^3,1-t^2),

在區間[−1,1]上，曲線由(−1,0)到(1,0),卻並無一個水平切線;然而它有一個駐點(實際上是一個尖點)在t = 0時。

柯西均值定理可以用來證明羅必達法則. (拉格朗日)均值定理是柯西均值定理當g(t) = t時的特殊情況。

 

的吧。如是者可否藉著『柯西均值定理』證明

羅必達法則

羅必達法則（l’Hôpital’s rule）是利用導數來計算具有不定型的極限的方法。這法則是由瑞士數學家約翰·伯努利（Johann Bernoulli）所發現的，因此也被叫作伯努利法則（Bernoulli’s rule）。

敘述

羅畢達法則可以求出特定函數趨近於某數的極限值。令  {\displaystyle c\in {\bar {\mathbb {R} }}}（擴展實數），兩函數  {\displaystyle f(x),g(x)}在以  x=c為端點的開區間可微， {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\in {\bar {\mathbb {R} }}}，並且  {\displaystyle g'(x)\neq 0}。

如果 {\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=\lim _{x\to c}{g(x)}=0} 或 {\displaystyle \lim _{x\to c}{|f(x)|}=\lim _{x\to c}{|g(x)|}=\infty } 其中一者成立，則稱欲求的極限 {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}為未定式。

此時羅必達法則表明：

  {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}。

對於不符合上述分數形式的未定式，可以透過運算轉為分數形式，再以本法則求其值。以下列出數例：

欲求的極限 條件 轉換為分數形式的方法
（1）

{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)\!}

 {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!} {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}
（2）{\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))\!} {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!} {\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}
（3）  {\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}^{g(x)}\!}   {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!} 或
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}		   {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}
（4）  {\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}^{g(x)}\!} {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!} {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}

注意

不能在數列形式下直接用羅必達法則，因為對於離散變量是無法求導數的。但此時有形式類近的斯托爾茲－切薩羅定理 （Stolz－Cesàro theorem）作為替代。

 

乎？？進而論證

斯托爾茲－切薩羅定理

斯托爾茲－切薩羅定理（英語：Stolz–Cesàro theorem）是數學分析學中的一個用於證明數列收歛的定理。該定理以奧地利人奧托·施托爾茨和義大利人恩納斯托·切薩羅命名。

內容

設  (a_{n})_{{n\geq 1}}和 (b_{n})_{{n\geq 1}}為兩個實數數列。若  b_{n}為嚴格單調的無界正數數列，且有窮極限

  {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\ell }

存在，則

  \lim _{{n\to \infty }}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\

也存在且等於ℓ。

用法說明

該定理雖然主要被用來處理數列不定型極限[1][2]，但該定理在沒有  {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }這一限制條件時也是成立的[2]。雖然該定理通常是以分母  b_{n}為正數數列的情形加以敘述的，但注意到該定理對分子  a_{n}的正負沒有限制，所以原則上把對數列  b_{n}的限制條件替換為「嚴格單調遞減且趨於負無窮大」也是沒有問題的。

與洛必達法則的疊代用法類似，在嘗試應用斯托爾茲－切薩羅定理考察數列的極限時，如果發現兩個數列差分的商仍然是不定型，可以嘗試再使用1次該定理，考察其2階差分之商的極限。[2]

應當注意，當 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}}不存在時，不能認定 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}必定也不存在。換句話說，確實有「有窮極限  {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}存在，但有窮極限 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}}不存在」的情況（詳見下文針對此逆命題所舉的反例）。

直觀解釋

利用與折線斜率的類比，該定理具有直觀的幾何意義。[2]

 

耶！！