當我們不明白書籍『文字所指』之時，容易『望文生義』。

【孫子歌】

三人同行七十稀，
五樹梅花廿一枝，
七子團圓正半月，
除百零五便得知。

其實是說『餘數定理』的例子，不過彷彿『雞同鴨講』罷了︰

《孫子算經‧序》孫子曰：

夫算者，天地之經緯，群生之元首；五常之本末，陰陽之父母；星辰之建號，三光之表裹；五行之準平，四時之終始；萬物之祖宗，六藝之綱紀。稽群倫之聚散，考二氣之降升；推寒暑之迭運，步遠近之殊同；觀天道精微之兆基，察地理從橫之長短；采神祇之所在，極成敗之符驗；窮道德之理，究性命之情。立規矩，準方圓，謹法度，約尺丈，立權衡，平重輕，剖毫釐，析黍絫；歷億載而不朽，施八極而無疆。散之不可勝究，斂之不盈掌握。嚮之者富有餘，背之者貧且窶；心開者幼沖而即悟，意閉者皓首而難精。夫欲學之者必務量能揆己，志在所專。如是則焉有不成者哉。

南宋時的數學家秦九韶著作《數書九章》內有『大衍求一術』，正好用來『解詩』，『七十』除三餘一，卻為『五、七』整除；『二十一』除五餘一，卻為『三、七』整除；『十五』除七餘一，卻為『三、五』整除；三數的最小公倍數『三乘五乘七』是為『百零五』，所以答案是 $105 \times n + 1$ 。『科技』與『人文』難道一定是『南轅北轍』不能『對話共歌』的嗎？？

就像皮亞諾之『後繼數』概念，似乎太過『抽象』而不自然一般︰

義大利的數學家朱塞佩‧皮亞諾 Giuseppe Peano 提出『自然數』之五條公設的系統。用著『未定義』的『基元』數『零 $0$ 』，以及『後繼數』successor 的概念，打造了一階算術系統，現今稱之為『皮亞諾算術系統』︰

一、 $0$ 是自然數。
二、如果 $n$ 是自然數，則 $n$ 的後繼數也是自然數。
三、 $0$ 不是任何自然數的後繼數。
四、如果兩個自然數的後繼數相等，則這兩個自然數相等。
五、任何關於自然數的命題，假使證明了這個命題對於自然數 $0$ 是真的，如果它對自然數 $n$ 為真時，又可以證明它對 $n$ 後繼數也真，那麼這個命題對所有的自然數都是真的── 數學歸納法 ──。

於是可以將皮亞諾算術表達成︰此處 $S$ 代表某數之後繼數

$\forall n (Sn \neq 0)$
$\forall m, n ((Sm = Sn) \Rightarrow m = n)$
$\varphi[0] \wedge \forall n \ (\varphi[n]\Rightarrow\varphi[Sn]) \Rightarrow \forall n \ (\varphi[n])$ ，就是數學歸納法
$\forall n (n + 0 = n)$
$\forall m, n(m + Sn = S(m + n))$
$\forall n (n \cdot 0 = 0)$
$\forall m, n (m \cdot Sn = (m \cdot n) + m)$

唐賈島《尋隱者不遇》
松下問童子，
言師採藥去。
只在此山中，
雲深不知處。

果真身緣此山中，不識廬山真面目！！

皮亞諾將『算術』公設化變成了祇有『零』、『後繼數』以及『相等』三個關於『計物數』之『基本』的『概念』。抽象了的『自然數』是否一樣『自然』，能如『骨牌』從『零』開始，一個推倒一個以至於『無窮』的嗎？？

─── 摘自《λ 運算︰計物數《上》》

也許那個『寫實』之『投影』，才會如此難以掌握哩。

【越調】天淨沙‧秋思
元 馬致遠

枯籐老樹昏鴉，
小橋流水人家，
古道西風瘦馬。
夕陽西下，
斷腸人在天涯。

繪畫、照片與書法是哪種比較『寫實』？哪個又較為『抽象』？《秋思》中用具象《『藤』、『樹』、『鴉』》，來虛寫『時光變化』之《『枯』、『老』、『昏』》；以實景《『橋』、『水』、『家』》，將串成『應歸之所』的《『小』、『流』、『人』》；終至於『道』得『古』、『風』是『西』、『馬』又怎能不『廋』？此刻也許只該是『夕陽西下』？？否則哪歸結的出『胡不歸去』之『斷腸人在天涯』！！

或許『失重』的『實物』漂浮於天之涯海之角，反而更顯得『虛幻』的了！！而『抽象』的『圖形』一旦擬似具體構物，或會因『沈重』終將失去『空靈』的嗎？？

─── 摘自《λ 運算︰計物數《中》》

若知維基百科這段『射影』 Projection (mathematics) 文字

In mathematics, a projection is a mapping of a set (or other mathematical structure) into a subset (or sub-structure), which is equal to its square for mapping composition (or, in other words, which is idempotent). The restriction to a subspace of a projection is also called a projection, even if the idempotence property is lost.

實寫『投影』之『同名異物』

‧ 平面 → 投影線

‧ 投影線 → 投影線

或可解惑乎？★

所謂【平面 → 投影線】

此講

投影

在線性代數和泛函分析中，投影是從向量空間映射到自身的一種線性變換，是日常生活中「平行投影」概念的形式化和一般化。同現實中陽光將事物投影到地面上一樣，投影變換將整個向量空間映射到它的其中一個子空間，並且在這個子空間中是恆等變換^[1]。

定義

投影的嚴格定義是：一個從向量空間 V 射到它自身的線性變換 P 是投影，若且唯若 $P^{2}=P$ 。另外一個定義則較為直觀：P 是投影，若且唯若存在 V 的一個子空間 W ，使得 P 將所有V中的元素都映射到 W 中，而且 P 在 W 上是恆等變換。用數學的語言描述，就是：

\exists W

，使得

\forall u\in V,P(u)\in W

，並且

\forall u\in W,P(u)=u

變換 P 是在線 m 上的正交投影。

簡單例子

在現實生活中，陽光在地面上留下各種影子。這就是投影變換最直白的例子。可以理想化地假設陽光都是沿著同一個方向（比如說垂直於地面的角度）照射而來，大地是嚴格的平面，那麼，對於任意一個物體（比如說一隻正在飛行的鳥），它的位置可以用向量 (x, y, z) 來表示，而這隻鳥在陽光下對應著一個影子，也就是 (x, y, 0)。這樣的一個變換就是一個投影變換。它將三維空間中的向量 (x, y, z) 到映射到向量 (x, y, 0) 。這是在 x–y 平面上的投影。這個變換可以用矩陣表示為

P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.

因為對任意一個向量 (x, y, z) ，這個矩陣的作用是：

P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}

注意到如果一個向量原來就是表示地面上的一點的話（也就是說它的z分量等於0），那麼經過變換 P 後不會有改變。也就是說這個變換在子空間 x–y 平面上是恆等變換，這證明了 P 的確是一個投影。

另外，

P^{2}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=P{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}};

所以 P = P²，這也證明 P 的確是投影。

『直觀義』也。固然 $V$ 的『空間維度』大於等於 $W$ ，通常之義 $V > W$ ，一般故是『多對一』之『映射』 Map (mathematics) 耶！所以沒有『反函數』乎？

因此『以義求義』，『中心投射』 central projection 『定義』是將任意一條通過『觀察者』之『原點』的整條『射線』 ray $y = \lambda \cdot x$ 上的『所有點』 $(x, y)$ 『映射』到『投影線』之『某一點』 $(\frac{1}{\lambda},1)$ 當然無法反演矣！