□ ○ 變動中或有『不變』之處，就函數而言稱之為『不動點』，也叫做『定點』︰

美國著名的哲學、邏輯學家 Willard Van Orman Quine 曾經提過一個非自我指涉的真假值『悖論』︰

“Yields falsehood when preceded by its quotation” yields falsehood when preceded by its quotation.

，或許可以用下面的中文例子比擬如下︰

“引用生虛假”引用生虛假。

那這句話是『真』還是『假』呢？假使這樣分解的看︰

□ = 引用生虛假
□ 的引用 = “引用生虛假”
□ 的引用之引用生虛假 = “引用生虛假”引用生虛假

『引用生虛假』引用生『虛假』，所以 “□” □ 自相矛盾。

一九七二年 Paul Bratley 和 Jean Millo 寫了一篇《Computer Recreations: Self-Reproducing Automata》技術文章，『自我再現』一詞首度出現，是指一種無需輸入，『自己輸出自己原始碼』的執行程式，也就是說『執行程式○的輸出＝程式○的原始碼』。據說一九六零年 Bratley 在 Edinburgh 大學的一場由該校研究員 Hamish Dear 的演講會上，第一次看到用了 Atlas Autocod 寫的此種程式時，就對它產生了興趣。人們後來為了紀念哲學家奎因，就將這類程式稱作『Quine』程式。通常在任何圖零 Turing 完備的程式語言上，都可以寫出 Quine 程式，這個網址列出了許多種程式語言的寫作範例。有人說，它的一般的寫法是︰

一、程式原始碼的資料結構，
二、輸出該資料結構，
三、用該資料結構之內容輸出其餘的程式原始碼。

比方說下面是一個 python 語言的簡單例子︰

a = [ ‘print “a =”, a’, ‘for s in a: print s’]
print “a =”, a
for s in a: print s

甚至 Laurent Vogel 用 Thue 語言寫了一個 Quine 的程式，有興趣的讀者可以到他的網站下載程式，好好研究一下︰

_x00::=2210001112000100020120000112200210220120211220221000110×01
>0::=0>~00
_2::=_~2
_x01::=22100021120011001201200011112020200101222011220221000210×02
>1::=1>~01
~220::=~_
_x02::=221010011200210022012000211012110210111220221010010×10
>2::=2>~02
1<::=<1
_x10::=221010111022110210211221211022120220112200010220120011220221010110×11
2<::=<2
x<::=x>_
_0::=_~0
_x11::=221010211220011022012011100211021001112000010120011220221010210×12
_1::=_~1
0<::=<0
~00::=~0
_x12::=221020011120001101201111200021012021112010010121011220221020010×20
~01::=~1
~02::=~2
~10::=~::=
_x20::=2210201111201011012111201021012121112020010122011220221020110×21
~11::=~
~12::=~~
~20::=~>
_x21::=2210202112022110212211112020110122111220221020210×22
>x::=<x
~21::=~<
_x22::=2211112020201101222111101122120220020200020201000000000100221000011x
~221::=~x
::=
x>_220221000010x00

這個『自我再現』和『定點』fixed point 的概念是息息相關的，在此從數學的角度上來講，假使有一個數值函數 $f(x)$ ，那它的定點的定義是︰

$f(x) = x$

，假使有一個滿足這個方程式的數值 $p$ ，從定義可知 $p = f(p) = f(f(p)) = f(\dots f(p)\dots)$ ，由此可知在『迭代』或『遞迴』計算的『終止條件』考慮上十分的重要，它在不同的領域裡有多個『定理』以及很多的『應用』。

─── 摘自《自我再現 ── Thue 改寫系統之補充《三》》

這常令人感覺奇妙，卻又彰顯事物內蘊也！

試想『透視』函數 $z^{'} = \frac{\alpha \cdot \beta \cdot z \cdot (z_2-z_1) }{\alpha ( z -z_1) - \beta (z -z_2)}$ 有『定點』乎？

設有 $l, l^{'}$ 兩線，而且 $z_1, z_2, z$ 與 ${z_1}^{'}, {z_2}^{'},z^{'}$ 是那兩線上共線和對應之三點。已知 ${z_1}^{'} = \alpha z_1, \ {z_2}^{'} = \beta z_2, \ z^{'} = \gamma z$ ，那麼這兩線之間形成透視關係，同時滿足『分式線性變換』形式。

可得

$z^{'} = \frac{\alpha \cdot \beta \cdot z \cdot (z_2-z_1) }{(\alpha - \beta) z + (\beta \cdot z_2 - \alpha \cdot z_1)}}$

$= \frac{\alpha \cdot \beta \cdot z \cdot (z_2-z_1) }{\alpha ( z -z_1) - \beta (z -z_2)}$ 也。

不求解能否知道 $l$ 與 $l^{'}$ 兩線之『交點』必是『定點』呢？？

已求解

pi@raspberrypi:~ $ipython3 Python 3.4.2 (default, Oct 19 2014, 13:31:11) Type "copyright", "credits" or "license" for more information. IPython 2.3.0 -- An enhanced Interactive Python. ? -> Introduction and overview of IPython's features. %quickref -> Quick reference. help -> Python's own help system. object? -> Details about 'object', use 'object??' for extra details. In [1]: from sympy import * In [2]: init_printing() In [3]: α , β , z1, z2, z = symbols('α , β , z1, z2, z') In [4]: 透視 = (α*β*(z2-z1)*z)/(α*(z-z1)-β*(z-z2)) In [5]: 透視 Out[5]: z⋅α⋅β⋅(-z₁ + z₂) ─────────────────────── α⋅(z - z₁) - β⋅(z - z₂) In [6]: 定點 = solve(z - 透視, z) In [7]: 定點 Out[7]: ⎡ -z₁⋅α⋅β + z₁⋅α + z₂⋅α⋅β - z₂⋅β⎤ ⎢0, ──────────────────────────────⎥ ⎣ α - β ⎦ In [8]: </pre> 是否可以知道這裡$ 0 $是什麼？確認$ \frac{-\alpha \beta z_1 + \alpha z_1 + \alpha \beta z_2 - \beta z_2}{\alpha - \beta} $就是那個『交點』耶？？ 假使將$ \frac{-\alpha \beta z_1 + \alpha z_1 + \alpha \beta z_2 - \beta z_2}{\alpha - \beta} $式子兩寫 $ = \frac{(-\alpha \beta + \alpha)z_1 + (\alpha \beta -\beta)z_2}{\alpha - \beta}, \ \frac{-\alpha \beta + \alpha}{\alpha - \beta} + \frac{\alpha \beta -\beta}{\alpha - \beta} = 1 $ $ = \frac{(- \beta + 1)\alpha z_1 + (\alpha - 1)\beta z_2}{\alpha - \beta}, \ \frac{- \beta + 1}{\alpha - \beta} + \frac{\alpha - 1}{\alpha - \beta} = 1 $ 自當明白矣！！ 如果上圖『透視中心』$ p $不是『原點』，也就是說 $ {z_1}^{'} - p = \alpha (z_1 - p), \ {z_2}^{'} - p = \beta (z_2 - p) \ z^{'} - p = \gamma (z - p) $ ，推之可得 $ z^{'} = p+ \frac{\alpha \cdot \beta \cdot (z-p) \cdot (z_2-z_1) }{\alpha ( z -z_1) - \beta (z -z_2)}$ 。且再驗證求解一番︰

In [8]: p = symbols('p')

In [9]: p點透視 = (α*β*(z2-z1)*(z-p))/(α*(z-z1)-β*(z-z2)) + p

In [10]: (p點透視.subs(z, z1)).simplify()
Out[10]: p - α⋅(p - z₁)

In [11]: (p點透視.subs(z, z2)).simplify()
Out[11]: p - β⋅(p - z₂)

In [12]: p定點 = solve(z - p點透視, z)

In [13]: p定點
Out[13]: 
⎡                                               ______________________________
⎢                                              ╱                              
⎢p⋅α - p⋅β - z₁⋅α⋅β + z₁⋅α + z₂⋅α⋅β - z₂⋅β - ╲╱  (p⋅α - p⋅β + z₁⋅α⋅β - z₁⋅α - 
⎢─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⎣                                          2⋅(α - β)                          

________________                                                 _____________
              2                                                 ╱             
z₂⋅α⋅β + z₂⋅β)    p⋅α - p⋅β - z₁⋅α⋅β + z₁⋅α + z₂⋅α⋅β - z₂⋅β + ╲╱  (p⋅α - p⋅β +
────────────────, ────────────────────────────────────────────────────────────
                                                            2⋅(α - β)         

_________________________________⎤
                               2 ⎥
 z₁⋅α⋅β - z₁⋅α - z₂⋅α⋅β + z₂⋅β)  ⎥
─────────────────────────────────⎥
                                 ⎦

In [14]:

，此刻需要自己協助 SymPy 簡化根號未盡之功哩？？！！將得到『p定點[1] = p』、『p定點[0] = l 與 l' 交點』呦！！？？

故知『點』『線』間之『重合關係』亦不容易勒◎

重合幾何

在數學裡，重合幾何（incidence geometry）是研究重合結構的一門學科。歐氏平面之類的幾何是一個複雜的數學物件，包含長度、角度、連續性、中間性與重合關係。當其他的概念都被去掉，剩下的就只有「重合結構」，有關哪個點會位於哪條線上的資訊。即使有這樣嚴格的限制，還是有定理可被證明，而且存在著與此一結構有關之有趣事實。這樣的基本結論在其他概念被加回來形成較豐富的幾何時，仍然有效。有時，一些作者會搞混研究與研究的物件之間的不同之處，所以有些作者會將重合結構指為重合幾何，這並不令人意外^[1]。

重合結構會自然地出現於各個不同的數學領域之內，並已被許多人研究過。因此，存在著許多不同的詞彙用來描述此一物件。在圖論裡，重合結構被稱為超圖；而在組合設計理論裡，則被稱為區塊設計。除了詞彙的不同外，每個領域也以不同的方式處理此一物件，並對這些物件與該學科有關的一類問題感興趣。使用幾何的語言，如同在重合幾何內一般，形狀即時常會被作為主題與範例。不過，將其中一個學科裡的結論轉換成另一學科裡的用詞是可能的，雖然這往往會導致難以操作且令人費解的陳述，不像是該主題原本的一部分。在本條目裡，只會選擇使用能自然呈現幾何語言的範例。

其中最令人感興趣的例子為在歐氏平面上的有限點集合，可由重合結構決定線的數量與類型。因為只考慮重合性質，上述情形所得之部分結論可延伸至更一般的設定上。

Incidence structure

In mathematics, an abstract system consisting of two types of objects and a single relationship between these types of objects is called an incidence structure. Consider the points and lines of the Euclidean plane as the two types of objects and ignore all the properties of this geometry except for the relation of which points are on which lines for all points and lines. What is left is the incidence structure of the Euclidean plane.

Incidence structures are most often considered in the geometrical context where they are abstracted from, and hence generalize, planes (such as affine, projective, and Möbius planes), but the concept is very broad and not limited to geometric settings. Even in a geometric setting, incidence structures are not limited to just points and lines; higher-dimensional objects (planes, solids, $n$ -spaces, conics, etc.) can be used. The study of finite structures is sometimes called finite geometry.^[1]

Möbius-Kantor configuration

In geometry, the Möbius–Kantor configuration is a configuration consisting of eight points and eight lines, with three points on each line and three lines through each point. It is not possible to draw points and lines having this pattern of incidences in the Euclidean plane, but it is possible in the complex projective plane.

Partial linear spaces

Incidence structures that are most studied are those that satisfy some additional properties (axioms), such as projective planes, affine planes, generalized polygons, partial geometries and near polygons. Very general incidence structures can be obtained by imposing "mild" conditions, such as:

A partial linear space is an incidence structure for which the following axioms are true:^[3]

Every pair of distinct points determines at most one line.
Every line contains at least two distinct points.

In a partial linear space it is also true that every pair of distinct lines meet in at most one point. This statement does not have to be assumed as it is readily proved from axiom one above.

Further constraints are provided by the regularity conditions:

RLk: Each line is incident with the same number of points. If finite this number is often denoted by $k$ .

RPr: Each point is incident with the same number of lines. If finite this number is often denoted by $r$ .

The second axiom of a partial linear space implies that $k > 1$ . Neither regularity condition implies the other, so it has to be assumed that $r > 1$ .

A finite partial linear space satisfying both regularity conditions with $k, r > 1$ is called a tactical configuration.^[4] Some authors refer to these simply as configurations,^[5] or projective configurations.^[6] If a tactical configuration has $n$ points and $m$ lines, then, by double counting the flags, the relationship $nr = mk$ is established. A common notation refers to $(n r, m k)$ -configurations. In the special case where $n = m$ (and hence, $r = k$ ) the notation $(n k, n k)$ is often simply written as $(n k)$ .

A linear space is a partial linear space such that:^[7]

Every pair of distinct points determines exactly one line.

Some authors add a "non-degeneracy" (or "non-triviality") axiom to the definition of a (partial) linear space, such as:

There exist at least two distinct lines.^[8]

This is used to rule out some very small examples (mainly when the sets $P$ or $L$ have fewer than two elements) that would normally be exceptions to general statements made about the incidence structures. An alternative to adding the axiom is to refer to incidence structures that do not satisfy the axiom as being trivial and those that do as non-trivial.

Each non-trivial linear space contains at least three points and three lines, so the simplest non-trivial linear space that can exist is a triangle.

A linear space having at least three points on every line is a Sylvester–Gallai design.

Simplest non-trivial linear space

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

GoPiGo 小汽車︰格點圖像算術《投影幾何》【五‧線性代數】《導引七‧變換組合 VI‧VIII 》

2017-09-04 懸鉤子

λ 何謂也？

λ 表達式的『核心』理念是︰將『函數』應用於其『引數』；藉『抽象』形成『函數』。用著『簡潔』的『語法』，專注於『表徵』函數；視『函數』為計算的『規則』，深得『計算』之『內蘊』。其『語詞』表達『疏落』大方，概念『表現力』與『柔軔性』十足。故為『邏輯』、『數學』和『程式』理念之『聚寶盆』！！

辨明『異同』與分解『差別』是學習的功夫︰

真積力，久則入。

讓我們再次『觀止』λ 表達式的『定義』︰

變元集合 $V = \{ v_1, v_2, v_3, \dots, v_n, \dots \}$
抽象符號 『 λ 』與『 . 』，符號本身不是λ 表達項
結構括號 『 ( 』與『 ) 』，括號本身不是λ 表達項

λ 表達式的論域集合 $\Lambda$ ，由下面三條語法歸納定義︰

一、如果 $x \in V$ ，那麼 $x \in \Lambda$

二、如果 $x \in V$ 而且 $M \in \Lambda$ ，那麼 $( \lambda x. M ) \in \Lambda$

三、如果 $M, N \in \Lambda$ ，那麼 $( M \ N) \in \Lambda$

假使觀察一個合乎語法的 λ 表達式 $(\lambda f. (\lambda x. (f x)))$ ，然後問著『 $f$ 』變元是指『什麼』？這個表達式最內層的 $(f x)$ 是函式的應用，明寫 $f$ 是某個函式，然而如何計算卻隻字未提。如此看來，所謂的『變元』也可以是『函式』。那要怎麼『詮釋』那個『 λ表達式』呢？由於我們不知道 $f, x$ 指的是什麼？也可以說它們『未被定義』，假使『給與定義』，我們或許可以講『在這個解釋下』，該個『 λ表達式』的『語意』是『□□□』。比方談著『用量角器量角度』一事，假使︰

$f =_{df}$ 用量角器量角度
$x =_{df}$ 東西的角度

，那麼 $(\lambda f. (\lambda x. (f x)))$ 是說︰拿某種『待指定』的量角器來量『尚未說』之物的角度。

要是講到『計算某種三角函數的數值』時，設想︰

$f =_{df}$ 某種三角函數的計算
$x =_{df}$ 角度

，那麼 $(\lambda f. (\lambda x. (f x)))$ 是說︰用某個『待指定』的三角函數來計算『未輸入』的角度。
……

面對『抽象』表達式，若是缺少直覺之『詮釋』導引，還真不曉得該看什麼、做什麼呢？舉例而言︰

可得

$z^{'} = \frac{\alpha \cdot \beta \cdot z \cdot (z_2-z_1) }{(\alpha - \beta) z + (\beta \cdot z_2 - \alpha \cdot z_1)}}$

$= \frac{\alpha \cdot \beta \cdot z \cdot (z_2-z_1) }{\alpha ( z -z_1) - \beta (z -z_2)}$ 也。

這個 $z^{'} = f(z)$ ，簡單計算可知

$f(z_1) = \alpha z_1 = {z_1}^{'}, \ f(z_2) = \beta z_2 = {z_2}^{'}$ 。

然而所謂的『透視』，意義不止如此，將要如何『觀』耶？假設 $l$ 線上有一『代表點』 $z_{\lambda} = (1-\lambda)z_1 + \lambda z_2$ ，那麼

$z_{\lambda} - z_1 = \lambda (z_2-z_1), \ z_{\lambda} - z_2 = (\lambda -1)(z_2-z_1)$

$\therefore z^{'} = \frac{\alpha \beta z_{\lambda}}{\alpha \lambda - \beta (\lambda - 1)} \ \ \ \ \ (1)$

$= \frac{\alpha \beta \left[ (1-\lambda) z_1 + \lambda z_2 \right]}{\alpha \lambda - \beta (\lambda - 1)} \ \ \ \ \ (2)$

$(1)$ 式除了可用來確定

$\lambda = 0 : z_{\lambda = 0} = z_1, \ \lambda = 1 : z_{\lambda = 1} = z_2$ 外，重要的是

$z^{'}_{\lambda} = {\gamma}_{\lambda} \cdot z_{\lambda} = \frac{\alpha \beta }{\alpha \lambda - \beta (\lambda - 1)} \cdot z_{\lambda}$ 之意義。

要是想求 $l$ 線上的『無窮遠點』 $z_{\lambda = \infty}$ 之『對應點』， $(2)$ 式比較好使吧！此時

$z^{'}_{\lambda = \infty} = \frac{\alpha \beta (z_2 - z_1)}{\alpha - \beta}$ 。

那它有什麼『奧秘』嗎？？首先 $z_2 - z_1$ 這向量與 $l$ 『平行』，既在 $l^{'}$ 線上，一般不在 $l$ 線上！此也可由『套套邏輯』

$\frac{\alpha \beta (z_2 - z_1)}{\alpha - \beta} = \frac{\alpha}{\alpha - \beta}(\beta z_2) + \frac{-\beta}{\alpha - \beta}(\alpha z_1) = \frac{\alpha}{\alpha - \beta}({z_2}^{'}) + \frac{-\beta}{\alpha - \beta}({z_1}^{'})$

$= (1 - \frac{\alpha}{\alpha - \beta}) {z_1}^{'} + \frac{\alpha}{\alpha - \beta} {z_2}^{'}$ 確證也！！

那點難到不是『平行』於 $l$ 之『視線』和 $l^{'}$ 線之『交會點』乎？？！！如果

$\alpha \lambda - \beta (\lambda - 1) = 0 \ \Rightarrow \lambda = \frac{- \beta}{\alpha -\beta}$ ，

想必讀者可以推知其意義吧！！？？

既然已將『對射』性質賦予『透視』， $P, l, l'$ 投影點 $U,V$ 間之對應關係可用

$\left( \begin{array}{cc} v \\ 1 \end{array} \right) = \ \left( \begin{array}{cc} \frac{u}{(1- \frac{1}{k}) u + \frac{1}{k}} \\ 1 \end{array} \right) \ {\overset {P}{\doublebarwedge }} \ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 - \frac{1}{k} & \frac{1}{k} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} u \\ 1 \end{array} \right)$ 或

$\left( \begin{array}{cc} u \\ 1 \end{array} \right) = \ \left( \begin{array}{cc} \frac{v}{(1- k) v + k} \\ 1 \end{array} \right) \ {\overset {P}{\doublebarwedge }} \ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 - k & k \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} v \\ 1 \end{array} \right)$

『齊次座標』表達也。

從表達式可知我們仍舊取 $A,B$ 為『定點』︰

$A \ {\overset {P}{\doublebarwedge }} \ \left( \begin{array}{cc} 0 \\ 1 \end{array} \right)$ ， $B \ {\overset {P}{\doublebarwedge }} \ \left( \begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ 。

簡單計算可得︰

$A^{'} \ {\overset {P}{\doublebarwedge }} \ \left( \begin{array}{cc} 0 \\ 1 \end{array} \right)$ ， $B{'} \ {\overset {P}{\doublebarwedge }} \ \left( \begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ 。

而且還是用『本地座標系』︰

$\overline{AB}$ 是線 $l$ 上的『單位長度』， $u =_{df} \frac{\overline{CA}}{\overline{AB}}$ 。對應之

$\overline{A^{'}B{'}}$ 是線 $l^{'}$ 上的『單位長度』， $v =_{df} \frac{\overline{C^{'}A^{'}}}{\overline{A^{'}B^{'}}}$ 。

$k$ 為此一『透視』下之『常數』︰

$\frac{1}{k} =_{df} \frac{\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}}{\frac{\overline{C^{'}A^{'}}}{\overline{C^{'}B{'}}} } = \frac{\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}}{\frac{\overline{PA^{'}}}{\overline{PB^{'}}}}$ 。

且先看看這個『矩陣形制』滿足『透視』之『對合』嗎？假設線 $l^{'}$ 趨近於 $l$ 將『重合』，那麼那個『矩陣形制』會是 $I_2$ 『單位矩陣』乎？？

當此時刻 $k$ 必然趨近於 $1$ 哩！焉能不是 $\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1} \end{array} \right)$ 耶！！

但思 $k=1$ 之條件不必是『重合』矣，難到不能是『平行』 $l \parallel l^{'}$ 嘛？！

古來『平行』費疑猜！？實因『眼見為憑』有此『遠近之事』吧★

…

過 $P$ 點平行 $\parallel l$ 之線，將交 $l$ 於無窮遠 $\infty$ 處，但交 $l^{'}$ 於

$\lim \limits_{u \to \pm \infty} \ \frac{u}{(1- \frac{1}{k}) u + \frac{1}{k}} =\frac{1}{1 - \frac{1}{k}}$ ，反之依然

過 $P$ 點平行 $\parallel l^{'}$ 之線，將交 $l^{'}$ 於無窮遠 $\infty$ 處，但交 $l$ 於

$\lim \limits_{v \to \pm \infty} \ \frac{v}{(1- k) v + k} =\frac{1}{1 - k}$ 。

招手『無限』 $\infty$ 說何事？『平行』本性自帶來！

$(1- k) v + k =0 \Rightarrow v = \frac{1}{1-\frac{1}{k}}$ ；

$(1- \frac{1}{k}) u + \frac{1}{k} \Rightarrow u = \frac{1}{1-k}$ 。

終究根源自家栽

$z \mapsto \frac{z}{z-1}$ ◎

─── 摘自《GoPiGo 小汽車︰格點圖像算術《投影幾何》【五‧線性代數】《導引六‧中》》

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

GoPiGo 小汽車︰格點圖像算術《投影幾何》【五‧線性代數】《導引七‧變換組合 VI‧VII 》

2017-09-03 懸鉤子

三十六計‧南北朝‧宋‧檀道濟

六六三十六，數中有術，術中有數。

陰陽燮理，機在其空，機不可設，設則不中。

…

第卅六計　走為上策。

為何『六六大順』耶？並非是三十六宮都是春，若說那計策不成，能不『走為上策』保身全命乎！嘆世間詐偽難料兵勢詭譎︰

孫子兵法

《兵勢》

孫子曰：凡治眾如治寡，分數是也。鬥眾如鬥寡，形名是也。三軍之眾，可使必受敵而無敗者，奇正是也。兵之所加，如以碬投卵者，虛實是也。

凡戰者，以正合，以奇勝。故善出奇者，無窮如天地，不竭如江河，終而復始，日月是也；死而復生，四時是也。聲不過五，五聲之變，不可勝聽也。色不過五，五色之變，不可勝觀也。味不過五，五味之變，不可勝嘗也。戰勢不過奇正，奇正之變，不可勝窮也。奇正相生，如循環之無端，孰能窮之哉！

激水之疾，至于漂石者，勢也。鷙鳥之擊，至于毀折者，節也。是故善戰者，其勢險，其節短，勢如張弩，節如機發。

紛紛紜紜，鬥亂，而不可亂也。渾渾沌沌，形圓，而不可敗也。亂生于治，怯生于勇，弱生于強。治亂，數也。勇怯，勢也。強弱，形也。故善動敵者，形之，敵必從之；予之，敵必取之；以利動之，以實待之。

故善戰者，求之于勢，不責于人，故能擇人任勢；任勢者，其戰人也，如轉木石，木石之性，安則靜，危則動，方則止，圓則行。故善戰人之勢，如轉圓石于千仞之山者，勢也。

就幾何光學理論來說，透鏡、材質、虛空之矩陣的組合亦無窮矣！

─── 摘自《光的世界︰【□○閱讀】說組合《上》》

退一步自海闊天空，忍一時留得青山在？？！！

若可不慍不火，方容易體會數理科學矣！！？？

故不急得借

可得

$z^{'} = \frac{\alpha \cdot \beta \cdot z \cdot (z_2-z_1) }{(\alpha - \beta) z + (\beta \cdot z_2 - \alpha \cdot z_1)}}$

$= \frac{\alpha \cdot \beta \cdot z \cdot (z_2-z_1) }{\alpha ( z -z_1) - \beta (z -z_2)}$ 也。

強講『莫比烏斯變換』 □ ○ 分解︰

pi@raspberrypi:~ lz_1, \ z_2, \ z= (1-\lambda) z_1 + \lambda z_2z_1 \Rightarrow z_1+z_t , \ z_2 \Rightarrow z_2+z_t, \ z \Rightarrow z+z_t(1-\lambda) (z_1+z_t) + \lambda (z_2+z_t) = \left[ (1-\lambda) z_1 + \lambda z_2 \right] + z_t = z+ z_tz_1 \Rightarrow e^{i \phi} z_1 , \ z_2 \Rightarrow e^{i \phi} z_2, \ z \Rightarrow e^{i \phi}z(1-\lambda) e^{i \phi} z_1 + \lambda e^{i \phi} z_2 = e^{i \phi} \left[(1-\lambda) (z_1) + \lambda (z_2) \right] = e^{i \phi} zz_1 \Rightarrow {z_1}^{*} , \ z_2 \Rightarrow {z_2}^{*}, \ z \Rightarrow z^{*}(1-\lambda) {z_1}^{*} + \lambda {z_2}^{*} = {\left[(1-\lambda) (z_1) + \lambda (z_2) \right]}^{*} = z^{*}{z_1}^{'} = \alpha z_1, \ {z_2}^{'} = \beta z_2, \ z^{'} = \gamma zz^{'} = \frac{\alpha \cdot \beta \cdot z \cdot (z_2-z_1) }{(\alpha - \beta) z + (\beta \cdot z_2 - \alpha \cdot z_1)}}$
僅『旋轉』、『共軛鏡像』變換不變矣◎
此處暫放下
反演
反演是種幾何變換。給定點O、常數k，點P的變換對應點就是在以O開始的射線OP上的一點P'使得|OP||OP' | = k²。
反演的結果：

過O的直線：直線
過O的圓：不過O的直線
不過O的圓：圓
過O的球：不過O的平面

對於點 $x=(x_1,x_2,...,x_n)$ ，以原點為中心，在直角坐標系的反演變換可寫成

 $x_i\rightarrow \frac{k^2 x_i}{\sum_j x_j^2}$ 

以下都可視為反演：

立體投影法：可以取球面上任意一點為中心，球的直徑為k。
共軸圓：在平面取一系列共心圓，取一系列經過共心圓圓心的線，任意取一點為中心進行反演。


一點的反演
 
容後再議哉☆

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

GoPiGo 小汽車︰格點圖像算術《投影幾何》【五‧線性代數】《導引七‧變換組合 VI‧VI 》

2017-09-02 懸鉤子

觀物吟‧邵雍

耳目聰明男子身，洪鈞賦予不為貧。
須探月窟方知物，未躡天根豈識人。
乾遇巽時觀月窟，地逢雷處見天根。
天根月窟閑來徃，三十六宮都是春。

那位

『安樂先生』愛說笑，『京房八卦』梅花易，『混沌』若是生耳目，恐怕乾坤倏忽息。

或許

天風拂歲姤，地雷震年復。
六六三十六，福中亦知福。

今值『九二』日，恍惚不識『就愛』是『舊愛』耶？？假使『初機』不能留！『天根』何可守？無奈遺憾『日月之戀』乎！！

偏巧遇

現下無寥計，數數度七夕！？白馬復彩衣，人立地天齊！？

將如何談『久愛』呢？？！！

或許假借『六六大順』，再講一點『代數幾何』吧！！？？

依題意

$z = (1-\lambda}) z_1 + \lambda z_2$ ，

$z^{'} = (1-{\lambda}^{'}) {z_1}^{'} + {\lambda}^{'} {z_2}^{'}$ 。

按條件

$z^{'} - \gamma z = 0$

$\Rightarrow \ \left[ (1-{\lambda}^{'}) \alpha - \gamma (1-\lambda) \right] z_1 + \left[ {\lambda}^{'} \beta - \gamma \lambda \right] z_2$

$\therefore (1-{\lambda}^{'}) \alpha - \gamma (1-\lambda) = 0 , \ {\lambda}^{'} \beta - \gamma \lambda = 0$ 。

若把

$\lambda = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ 、

${\lambda}^{'} = \frac{z^{'}-{z_1}^{'}}{{z_2}^{'}-{z_1}^{'}}$ ；代入原式

將得 $z^{'} = F(z)$ 矣◎

即使容易算，擔心容易錯？聽聞複數、實數除比大小之外本一爐，何不嘗試看看哩！

pi@raspberrypi:~ z^{'} = \frac{\alpha \cdot \beta \cdot z \cdot (z_2-z_1) }{(\alpha - \beta) z + (\beta \cdot z_2 - \alpha \cdot z_1)}} = \frac{\alpha \cdot \beta \cdot z \cdot (z_2-z_1) }{\alpha ( z -z_1) - \beta (z -z_2)}\because \alpha = \beta, \ \therefore \ z^{'} = \alpha \cdot z = \beta \cdot z l \ \parallel \ l^{'}$ 的嘛！◎

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

GoPiGo 小汽車︰格點圖像算術《投影幾何》【五‧線性代數】《導引七‧變換組合 VI‧V 》

2017-09-01 懸鉤子

如果讀一本『代數幾何』，其中有一段文字這麼寫︰

假使此時方嘗試『辨名識物』中英『廣徵博引』︰

Linear fractional transformation

In mathematics, the phrase linear fractional transformation usually refers to a Möbius transformation, which is a homography on the complex projective line P(C) where C is the field of complex numbers.

More generally in mathematics, C may be replaced by another ring (A, +, ×).^[1] For example, the Cayley transform is a linear fractional transformation originally defined on the 3 x 3 real matrix ring.

In general, a linear fractional transformation refers to a homography over P(A), the projective line over a ring. When A is a commutative ring, then the linear fractional transformation has the familiar form

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},\quad z,a,b,c,d\in A.

Otherwise homographies are expressed (az + b, cz + d) with homogeneous coordinates. The equivalence of such coordinates is expressed

U(az+b,cz+d)\sim U((cz+d)^{{-1}}(az+b),1).

莫比烏斯變換

在幾何學裡, 莫比烏斯變換是一類從黎曼球面映射到自身的函數。用擴展複平面上的複數表示的話，其形式為：

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}

其中 z, a, b, c, d 為滿足 ad − bc ≠ 0的（擴展）複數。

莫比烏斯變換也可以被分解為以下幾個變換：把平面射影到球面上，把球體進行旋轉、位移等任何變換，然後把它射影回平面上。莫比烏斯變換是以數學家奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯的名字命名的，它也被叫做單應變換（homographic transformation）或分式線性變換（linear fractional transformation）。

分解與基本性質

莫比烏斯變換的實質與反演密切相關。實際上，一個形如

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}

的莫比烏斯變換可以分解成四個變換^[3]^:51：

$f_{1}(z)=z+d/c\!$ （按d/c 做平移變換）；
$f_{2}(z)=1/z\!$ （關於單位圓做反演變換然後關於實數軸做鏡面反射）；
$f_{3}(z)=(-(ad-bc)/c^{2})\cdot z\!$ （做關於原點的位似變換然後做旋轉）；
$f_{4}(z)=z+a/c\!$ （按a/c 做平移變換）。

這四個變換的複合就是莫比烏斯變換：

f_{4}\circ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}(z)=f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}.\!

在這種分解之下，我們可以清楚地看出莫比烏斯變換的不少基本性質。首先，由於以上分解中的每個變換都是可逆的（它們的逆變換也十分清楚），因此可以容易地看出，莫比烏斯變換的逆變換也是一個莫比烏斯變換，而且其表達式可以具體計算。具體來說，設變換函數 $g_{1},g_{2},g_{3},g_{4}$ ，其中每一個 $f_{i}$ 的逆變換（反函數），

g_{i}=f_{i}^{{(-1)}}

那麼莫比烏斯變換f的逆變換就是：

f^{{(-1)}}(z)=g_{1}\circ g_{2}\circ g_{3}\circ g_{4}(z)={\frac {dz-b}{-cz+a}}

^[3]^:51

保角性與保圓性

由於莫比烏斯變換可以分解為平移、反演、位似與旋轉變換，因此能夠保持所有反演變換的性質。一個基本的例子是保角性：由於平移、反演、位似與旋轉變換都保持角度不變，因此兩個複數（或向量）之間的幅角差（夾角）在經過莫比烏斯變換後不變。

此外，一個廣義圓經過莫比烏斯變換後，仍會映射到一個廣義圓。廣義圓是指黎曼球面上的圓，包括普通的圓形和帶無窮遠點的直線（可以認為是一個半徑無限大的圓）。這也是反演保持廣義圓的結果。當然莫比烏斯變換並不是將圓映射到圓，將直線映射到直線，經過映射後直線可能變成圓，圓也可能變成直線。

複比不變性

莫比烏斯變換也可以保持複數的複比不變。設有四個兩兩不同的複數 $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ ，對應擴充複平面上四個不同的點，它們經過莫比烏斯變換後變成 $w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}$ 四點，那麼複比：

{\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{4})}{(w_{2}-w_{3})(w_{1}-w_{4})}}.

當 $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ 中有一個或多個是無窮大時，複比就定義為相應逼近的極限。比如說當四個複數是 $z_{1},z_{2},z_{3},\infty$ 時，複比就是：

{\frac {(z_{1}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})}}.

確定莫比烏斯變換

給定平面上三個不同點 $z_{1},z_{2},z_{3}$ ，存在著唯一的一個莫比烏斯變換 $f$ ，使得 $f(z_{1}),f(z_{2}),f(z_{3})$ 分別等於 $0,1,\infty$ 。這個莫比烏斯變換就是：

f(z)={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z3)(z_{2}-z_{1})}}

而由於對於另外的三個不同點 $w_{1},w_{2},w_{3}$ ，也唯一存在一個莫比烏斯變換 $g$ ，使得 $g(z_{1}),g(z_{2}),g(z_{3})$ 分別等於 $0,1,\infty$ 。因此，對於任意一組出發點 $z_{1},z_{2},z_{3}$ ，任意一組到達點 $w_{1},w_{2},w_{3}$ ，都唯一存在一個莫比烏斯變換，將 $z_{1},z_{2},z_{3}$ 分別映射到點 $w_{1},w_{2},w_{3}$ 。具體地說，這個變換就是 $g^{{(-1)}}\circ f$ ^[3]^:59-60。作為推論，如果一個莫比烏斯變換有三個不動點，那麼它是恆等變換。

，總覺得『月朦朧、鳥朦朧』乎？？或許該曉『規矩基本』耶！！

女媧豈假規補天！伏羲借矩畫卦焉！天工開物考太難！

800px-Anonymous-Fuxi_and_Nüwa3

傳說魯班造矩先。伏羲手中原何處？大禹果真得洛書？左準繩且右規矩，己身度量稱以出？莫道此事實稽無，丁蘭魯班陰陽度！

【魯班尺】

魯班尺

【丁蘭尺】

丁蘭尺

吉凶禍福因事起？當真博識可拯難。辨物怎得無之前，益流福好唯一謙！

問世間器物創作又何故耶？？！！

─── 摘自《光的世界︰矩陣光學七》

就讓我們順著前頭文字且補一圖往下推演吧︰

依題意

$z = (1-\lambda}) z_1 + \lambda z_2$ ，

$z^{'} = (1-{\lambda}^{'}) {z_1}^{'} + {\lambda}^{'} {z_2}^{'}$ 。

按條件

$z^{'} - \gamma z = 0$

$\Rightarrow \ \left[ (1-{\lambda}^{'}) \alpha - \gamma (1-\lambda) \right] z_1 + \left[ {\lambda}^{'} \beta - \gamma \lambda \right] z_2$

$\therefore (1-{\lambda}^{'}) \alpha - \gamma (1-\lambda) = 0 , \ {\lambda}^{'} \beta - \gamma \lambda = 0$ 。

求解 $\gamma$ 可知

$\frac{\lambda}{\lambda-1} = \frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{{\lambda}^{'}}{{\lambda}^{'}-1}$ ，

似乎曾相識哩？？

且讓我們將『單點透視』放在以『投影中心』 $P$ 為『齊次座標』之『原點』的平面上作考察︰

如果依舊選用『本地座標系』︰

$A \ {\overset {P}{\doublebarwedge }} \ A^{'}$ ， $B \ {\overset {P}{\doublebarwedge }} \ B^{'}$ ， $C \ {\overset {P}{\doublebarwedge }} \ C^{'}$

$\overline{AB}$ 是線 $l$ 上的『單位長度』，任意一點 $C$ 之『賦值』為 $t$ $= \frac{\overline{CA}}{\overline{CB}} = \frac{u}{u -1}, \ u =_{df} \frac{\overline{CA}}{\overline{AB}}$ 。對應之

$\overline{A^{'}B{'}}$ 是線 $l^{'}$ 上的『單位長度』，任意一點 $C^{'}$ 之『賦值』為 $t^{'}$ $= \frac{\overline{C^{'}A^{'}}}{\overline{C^{'}B^{'}}} = \frac{v}{v -1}, \ v =_{df} \frac{\overline{C^{'}A^{'}}}{\overline{A^{'}B^{'}}}$

$l$ 與 $l^{'}$ 間的『幾何事實』仍然是

$\frac{\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}}{\frac{\overline{C^{'}A^{'}}}{\overline{C^{'}B{'}}} } = \frac{\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}}{\frac{\overline{PA^{'}}}{\overline{PB^{'}}}} = constant = \frac{1}{k} = \frac{t}{t^{'}}$ 。

因此『透視』間之『數值關係』還是︰

$f_P ={\begin{cases} k \cdot t,&{\mbox{if }} U \in l \\ \frac{t^{'}}{k} ,&{\mbox{if }} V \in l^{'} \end{cases}$

$f_P ={\begin{cases} \frac{u}{(1- \frac{1}{k}) u + \frac{1}{k}},&{\mbox{if }} U \in l \\ \frac{v}{(1-k)v +k} ,&{\mbox{if }} V \in l^{'} \end{cases}$

─── 摘自《GoPiGo 小汽車︰格點圖像算術《投影幾何》【五‧線性代數】《導引六‧上》》

若把

$\lambda = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ 、

${\lambda}^{'} = \frac{z^{'}-{z_1}^{'}}{{z_2}^{'}-{z_1}^{'}}$ ；代入原式

將得 $z^{'} = F(z)$ 呀◎

FreeSandal

每月彙整: 2017 年 9 月

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重合幾何

Incidence structure

Partial linear spaces

GoPiGo 小汽車︰格點圖像算術《投影幾何》【五‧線性代數】《導引七‧變換組合 VI‧VIII 》

GoPiGo 小汽車︰格點圖像算術《投影幾何》【五‧線性代數】《導引七‧變換組合 VI‧VII 》

反演

GoPiGo 小汽車︰格點圖像算術《投影幾何》【五‧線性代數】《導引七‧變換組合 VI‧VI 》

GoPiGo 小汽車︰格點圖像算術《投影幾何》【五‧線性代數】《導引七‧變換組合 VI‧V 》

Linear fractional transformation

莫比烏斯變換

分解與基本性質

保角性與保圓性

複比不變性

確定莫比烏斯變換

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