GoPiGo 小汽車︰格點圖像算術《投影幾何》【四‧平面國】《庚》

2017-08-06 懸鉤子

周易參同契‧魏伯陽

如審遭逢，睹其端緒。以類相況，揆物終始。五行相克，更為父母。母含滋液，父主秉與，凝精流形，金石不朽。審專不泄，得為成道。立竿見影，呼谷傳響。豈不靈哉！天地至象。若以野葛一寸，巴豆一兩，如喉輒僵，不得俯仰。當此之時，周文揲蓍，孔子占象，扁鵲操針，巫咸扣鼓，安能令蘇，復起馳走？

平面國『有圖有文』之事︰

《圖鑑》

若是以『立竿見影』為常，日迎朝陽或有『景長無限』之時，日上中天恐遇『影無立錐』之地。

怎似『如審遭逢』耶？

況『有圖無文』之義乎？

$(n, 1) \equiv (1, \frac{1}{n})$ ，當 $n \to \infty$ 時， $(1, \frac{1}{n}) \to (1, 0)$ 而且 $y = \frac{x}{n} \to y = 0 ,$ 趨近 $X$ 軸。其與 $y = m \cdot x + b$ 之交點 $(\frac{b}{\frac{1}{n} -m}, \frac{b}{1 - n \cdot m})$ 將趨近 $\to (- \frac{b}{m}, 0)$ 。

任何學科『基本概念』倘未曾好好省思，怕吹不動大天使『加百利之號角』哩☆

傳說中大天使加百利之號角 Gabriel’s Horn 一旦響起，就是審判日 Judgment Day 的到來。然而卻沒有任何人見過這個號角？這也許正是義大利數學家埃萬傑利斯塔‧托里拆利 Evangelista Torricelli 想像創造托里拆利小號之原因︰它是一個表面積無限大但卻體積有限的三維物體，或許該是用著第五元素乙太才能構成的吧！！

比方說︰『事實就是發生過了的事』？如果曾經有一隻猴子真的敲打出了莎士比亞的哈姆雷特，那麽這是那隻猴子它自己能知道的事實嗎？假使連它自己都不能知道，人們會認為這是件發生過的事實嗎？又假使歷史上根本沒有莎士比亞的哈姆雷特，然而未來將會有□□的○○，到那時有隻猴子曾使這事成真的了，難道真的可以歸結說過去曾經有一隻猴子真的敲打出了□□的○○的嗎？

學習就像是個『羊角螺旋』的軌跡，一再的一次又一次覆裹著中心的主題，每次的回歸，總是帶著新的知識與舊的記憶。自古以來人類一直想方設法希望解開大自然的奧秘，也許終將能有一天，這個思想螺旋成了『龍捲風』，大到能含括天地萬物。

這樣的一個學習者將會如何建造自己知識之金字塔的呢？他會不會用『想像的實驗』去釐清『基本概念』之糾葛的呢？還是用『推導歸謬』的邏輯，去探測一個『自明假設』之深遠結論的呢？又或者會將在大自然中發現的方程式求解，然後『畫圖』與『演示』這個解之意義的呢？……

如果從人類的創造發明史來看，那樣的學習者終將使用當時之最好的『學習工具』，打造自己的『學習工具箱』，甚至會創新『既有之工具』。就現今來講，除了使用電腦的一般應用軟體之外 ── 比方說文書處理等等 ──，最重要的就是能掌握『程式語言』與『數學語言』的工具。或許這正是樹莓派基金會一開始打造樹莓派時所想的重要原因，讓學習者能有學習的工具！！

─── 摘自《加百利之號角！！》

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

GoPiGo 小汽車︰格點圖像算術《投影幾何》【四‧平面國】《己》

2017-08-05 懸鉤子

【苯環之夢】

凱庫勒夢到了苯分子是一個環狀結構 。

1864年冬，某天德國化學家凱庫勒 Friedrich August Kekulé von Stradonitz 正坐在壁爐前打瞌睡，迷糊中原子們開始飛舞，碳原子串成了鏈，像蛇一般環繞，就像咬著自己的尾巴似的，在他眼前迴旋。猛然地驚醒後，凱庫勒終於明白了苯分子是一個環狀結構。碳原子們在對稱的六邊形上跳動。

Kekulé’s dream

Kekulé’s proposal for the structure of benzene (1872)

The German organic chemist August Kekulé described the eureka moment when he realized the structure of benzene:^[19]

I was sitting, writing at my text-book; but the work did not progress; my thoughts were elsewhere. I turned my chair to the fire and dozed. Again the atoms were gamboling before my eyes. This time the smaller groups kept modestly in the background. My mental eye, rendered more acute by the repeated visions of the kind, could now distinguish larger structures of manifold conformation: long rows, sometimes more closely fitted together; all twining and twisting in snake-like motion. But look! What was that? One of the snakes had seized hold of its own tail, and the form whirled mockingly before my eyes. As if by a flash of lightning I awoke; and this time also I spent the rest of the night in working out the consequences of the hypothesis.

說道精誠所至、夢裡顯現，考之科學史有之。若問夢『銜尾蛇』者如何解？聽聞知名的心理學家『榮格』認為『銜尾蛇』其實是反映了人類的『心理原型』，果然『真積力』也！但讀《平面國數點》講『點頭派』之興起，源自一夢 ── 平行線交於『無窮』 $\infty$ ── ，故以證明此義為『入門題』◎

也曾苦思其義，一日夢夢之際，耳邊響起嗚哩哇啦聲響，正覺擾人清夢之時，咦！？這不是老子

道德經‧第二十五章

有物混成，先天地生。寂兮寥兮，獨立不改，周行而不殆，可以為天下母。吾不知其名，字之曰道，強為之名曰大。大曰逝，逝曰遠，遠曰反。故道大，天大，地大，王亦大。域中有四大，而王居其一焉。人法地，地法天，天法道，道法自然。

嗎？？恍兮惚兮惟『大、逝、遠、反』四字聽得分明！！猛想之下無蹤無影矣★

方將悵惘到底什麼『驢題』之刻︰

驢橋定理

驢橋定理（拉丁語：Pons asinorum），也稱為等腰三角形定理，是在歐幾里得幾何中的一個數學定理，是指等腰三角形二腰對應的二底角相等。等腰三角形定理也是歐幾里得的幾何原本第一卷命題五的內容。

有關其名稱驢橋定理的由來有二種：一種是幾何原本中的示意圖即為一座橋，另外一種比較廣為大家接受，是指這是幾何原本中第一個對於讀者智力的測試，並且做為往後續更困難命題的橋樑^[1]。幾何學是列在中世紀的四術之中，驢橋定理是在幾何原本的前面出現的較困難命題，是數學能力的一個門檻，也稱之為「笨蛋的難關」^[2]，無法理解此一命題的人可能也無法處理後面更難的命題。

無論其名稱的由來為何，驢橋定理一詞也變成是一種隱喻，是指對能力或了解程度的關鍵測試，可以將了解及不了解的人區分開來^[3]。

Pons asinorum

In geometry, the statement that the angles opposite the equal sides of an isosceles triangle are themselves equal is known as the pons asinorum (Latin pronunciation: [ˈpons asiˈnoːrʊm]; English /ˈpɒnz ˌæsᵻˈnɔərəm/ PONZ-ass-i-NOR-(r)əm), Latin for “bridge of donkeys”. This statement is Proposition 5 of Book 1 in Euclid‘s Elements, and is also known as the isosceles triangle theorem. Its converse is also true: if two angles of a triangle are equal, then the sides opposite them are also equal.

The name of this statement is also used metaphorically for a problem or challenge which will separate the sure of mind from the simple, the fleet thinker from the slow, the determined from the dallier; to represent a critical test of ability or understanding.^[1]‘

byrne_preface-15

Byrne版幾何原本中，驢橋定理的內容，有列出部份歐幾里得的證明

假如兩個三角形全等之第一原理為 SAS ── 夾角相等、夾角之兩邊亦皆對等 ── ，那麼作等長之延伸線段，迭代使用 SAS 證明，的確需要一番思慮。若是 SSS ── 三邊長都對應相等 ── 當第一原理，或許只需在等腰三角形之底取中點，就可藉 SSS 得出兩底角相等。據知幾何原本裡根本沒有 SSS 全等，這又為什麼呢？難到是因為它不夠直覺嗎？還是以一邊為底，兩端點各依所餘兩邊作圓，此二圓將相交於兩點，那要如何判定所形成的這兩個三角形全等的呢？？也許 SSS 之證明可以藉著在頂點處作條平行於底邊的平行線︰

『歐幾里得』的『平行公設』 ── 經過『線外』一『點』，只能作一條『平行線』平行該『線』 ──，或許正因為不夠『直覺』，然而又有人將它看成了『公理』，於是乎長期以來議論不斷，如此經過了兩千多年。一八二零年時，俄國數學家『尼古拉‧伊萬諾維奇‧羅巴切夫斯基』 Никола́й Ива́нович Лобаче́вский 想用『歸謬法』證明︰假使僅『反對』了『平行公設』 ── 假設有兩條平行線 ── ，但是卻『保留』著『其它公設』，這樣的『幾何系統』是不是會發生內部之『邏輯矛盾』的呢？本來是想『證明』平行公設的『必要性』，結果意外『成立』了一門『新的幾何學』，這就是第一個被提出的『非歐幾何學』。如果從『羅氏幾何學』建構方法來看，我們可以『知道』只要『選擇』邏輯上不矛盾的『一些公理』都有可能『成立』一種『幾何學』。這樣我們的『大自然』它會『選擇』特定的『幾何學』的嗎？假使果真有這個『幾何學』，我們又要『依據』什麼才能『判斷』它是『真實』的呢？？因此我們或許更當細思『先驗知識』與『後驗知識』之間的大哉『辯』與『辨』的吧！！

三種平行假設

笛沙格定理

如果A.a，B.b，C.c 共點，那麼 (A.B)∩(a.b)，(A.C)∩(a.c)，(B.C)∩(b.c) 共線。

雙曲面幾何學
多條平行線

球面幾何學
沒有平行線

─── 摘自《【Sonic π】電聲學之電路學《四》之《 !!!! 》上》

在此頂點兩端都可取一點，依據 SAS 及內錯角相等，全等於 SSS 之三角形。如是再因平行線的唯一性而得證。

─ 摘改自《光的世界︰【□○閱讀】樹莓派近攝鏡‧下‧答之承》

突得一朦朧『意象』，醒後忙作一圖︰

，且自解自證一番︰

$x = \lambda$ 線上之一般點 $(\lambda, n \cdot \lambda)$ 為『視線』 $L_n$ 投影至 $(\frac{1}{n},1)$ 點，當 $n \to \infty$ 時，落於 $Y$ 軸之 $(0, 1)$ 處 ── 消失點 ──，此刻 $n \cdot \lambda \to \infty$ ── 無窮遠點── 也。當下『視線』 $L_n$ 與 $Y$ 軸 $x=0$ 重合，故知『平行』之 $x=0$ 和 $x = \lambda$ 實『相交』的哩☆

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

GoPiGo 小汽車︰格點圖像算術《投影幾何》【四‧平面國】《補丁》

2017-08-04 懸鉤子

艾賓浩斯錯覺

艾賓浩斯錯覺（英文：Ebbinghaus illusion）是一種對實際大小知覺上的錯視。在最著名的錯覺圖中，兩個完全相同大小的圓放置在一張圖上，其中一個圍繞較大的圓，另一個圍繞較小的圓；圍繞大圓的圓看起來會比圍繞小圓的圓還要小。

這一發現便以發現者的名字來命名，發現者為德國心理學家赫爾曼·艾賓浩斯（1850-1909）。

艾賓浩斯錯覺在最近的爭論中（對於以分割路徑存在於大腦中的知覺和行為）扮演了關鍵性角色（詳見視覺皮層）。其主張艾賓浩斯錯覺會扭曲對於大小的知覺，但當需要反應出抓取之類的行為時，便不存在大小上的扭曲（Goodale & Milner, 1992）。然而在最近的研究中（Franz等人, 2005）提出原來的實驗存有瑕疵，其原始刺激限制了在抓取行為中發生錯誤的可能性，因而產生相當準確的抓取反應。並且指出獨立的較大和較小刺激——導致沒有錯覺，因為沒有其它的圓可起到參考作用。法蘭茲等人總結如下，行為和知覺系統兩者同樣受到艾賓浩斯錯覺所愚弄。

圖中兩個橘色圓圈的大小相同，但左邊的橘色圓圈看起來卻比較小。

雖說『眼見為憑』，難保不是『錯覺』呢？

此事因平面國流傳一圖而起︰

卻納悶平面國似有『透鏡』，恍惚是『平行光轉換器』耶！然懷疑

無厚能有透鏡乎？！

一時浮現惠施之

【無厚不可積也，其大千里。】

論︰

假使從『惟初太始，道立于一』來看『一』的意思，『惠施』所說之『大一』和『小一』中的『一』，不是『多中有一』，而是『此中唯一』。他的『觀點』是沒有『等級之分』的『無限大』與『無窮小』。

『粒子物理學』是研究組成『物質』和『射線』的『基本粒子』和它們之間的『交互作用』之物理學。由於許多的『基本粒子』在大自然中一般條件下『不存在』或者不會『單獨出現』，物理學家只能使用『粒子加速器』在『高能碰撞』的條件下才能產生與研究它們，所以『粒子物理學』也被叫做『高能物理學』。現今科學中這個『物質』的『可分性』研究也持續著『還原論』的『批評』和『論辯』。那麼一個『大一統』的『萬物理論』可能『存在』的嗎？它果真能『解釋』宇宙萬有的『性質』，如此我們只需要一組『方程式』就能夠『認識』古往今來以至於悠悠無盡的『眾生』的嗎？？或許當人們更深入理解『混沌現象』與『量子糾纏』所帶來的『理性衝擊』之時，又或許在求解了『氫原子』、『氧原子』以及『水分子』的量子力學『方程式』後，想要用來『解釋』『水』的諸多『特性』的『可能性』的時候，大概會發現是『雞同鴨講』的吧！！

【無厚不可積也，其大千里。 】

據聞『厚』來自於，在巨大岩體裡開鑿的帝王陵寝，即『崖墓』，墓内設計模仿帝王生前的陽間世界，有大量陪葬品，此即古代所谓的『厚葬』。

《説文解字》：厚，山陵之厚也。从，从厂。垕，古文厚，从后、土。

《 莊子‧內篇‧養生主第三 》

吾生也有涯，而知也無涯。以有涯隨無涯，殆已！已而為知者，殆而已矣！為善無近名，為惡無近刑，緣督以為經，可以保身，可以全生，可以養親，可以盡年。

庖丁為文惠君解牛，手之所觸，肩之所倚，足之所履，膝之所踦，砉然響然，奏刀騞然，莫不中音，合於桑林之舞，乃中經首之會。文惠君曰：「嘻，善哉！技蓋至此乎？」

庖丁釋刀對曰：「臣之所好者道也，進乎技矣。始臣之解牛之時，所見無非全牛者﹔三年之后，未嘗見全牛也﹔方今之時，臣以神遇而不以目視，官知止而神欲行。依乎天理，批大卻，導大窾，因其固然。技經肯綮之未嘗微礙，而況大軱乎！良庖歲更刀，割也﹔族庖月更刀，折也﹔今臣之刀十九年矣，所解數千牛矣，而刀刃若新發於硎。彼節者有閒，而刀刃者無厚，以無厚入有閒，恢恢乎其於游刃必有餘地矣。是以十九年而刀刃若新發於硎。雖然，每至於族，吾見其難為，怵然為戒，視為止，行為遲，動刀甚微，謋然已解，牛不知其死也，如土委地。提刀而立，為之而四顧，為之躊躇滿志，善刀而藏之。」

文惠君曰：「善哉！吾聞庖丁之言，得養生焉。」

公文軒見右師而驚曰：「是何人也？惡乎介也？天與？其人與？」曰：「天也，非人也。天之生是使獨也，人之貌有與也。以是知其天也，非人也。」

澤雉十步一啄，百步一飲，不蘄畜乎樊中。神雖王，不善也。
老聃死，秦失弔之，三號而出。

弟子曰：「非夫子之友邪？」

曰：「然。」

「然則弔焉若此，可乎？」
曰：「然。始也吾以為其人也，而今非也。向吾入而弔焉，有老者哭之，如哭其子﹔少者哭之，如哭其母。彼其所以會之，必有不蘄言而言，不蘄哭而哭者。是遁天倍情，忘其所受，古者謂之遁天之刑。適來，夫子時也﹔適去，夫子順也。安時而處順，哀樂不能入也，古者謂是帝之縣解。」
指窮於為薪，火傳也，不知其盡也。

既然『惠施』是『莊子』的『非同道摯友』，『莊子』講『庖丁解牛』神技中有『彼節者有閒，而刀刃者無厚，以無厚入有閒，恢恢乎其於游刃必有餘地矣。』來看『無厚』一詞的『意指』當是『沒有厚度』。如同『刀』之『刃』是『刀之用』，惟『鋒利』爾，所謂『割』與『折』是『不會用』，『以有砍有』因此才需要『逐年』甚或『逐月』的『換刀』，以其不『鋒利』了，所以才說『刀刃者無厚』。這樣看來『惠施』所言『無外』、『無內』以及『無厚』之『無』字皆指『有的否定』，因此『無厚』就是『厚度是零』。只需要考察 $\lim \limits_{n \to \infty} 0 \cdot n = 0$ ，當然可以知道『零』是『不可積』的。其實此處並沒有那種 $\infty \cdot 0$ 的問題！或許有人尚不明白『無窮小』數並不等於『零』 $\delta x \neq 0$ ，事實上正『無窮小』數大於『零』 $+\delta x >0$ ，要不然它要怎麽滿足『代數法則』的呢？因此才會有『可積不可積』的問題的啊！進一步說，在『代數』的『計算法則』之中『整體等於其部分和』，那麼『無窮小』數果真可能符合這個『法則』的嗎？？也許這就是 $\infty \cdot 0$ 『疑惑』的由來。舉例來說，考慮『分割』一個『閉區間』 $[a, b]$ ，如果我們將它的『長度』記作 $l = b - a$ ，將之『等分』成 $N$ 段 $\Delta x = \frac{l}{N}$ ，其內有 $N - 1$ 個『分割點』，連同兩個『端點』表為 $x_0 = a, \ x_k, \ k=1 \ \cdots \ N -1, \ x_N = b$ ，此時當然 $N \cdot \Delta x = l$ ，假使那個『分割數』 $N$ 成了『巨量』 $H$ 時，難到『分割點距』不會變成『無窮小』數 $\Delta x = \frac{1}{H} = \delta x$ 的嗎？此時難到可能 $H \cdot \delta x \neq l$ 的嗎？？也就是說，『無窮小』數是『有』，而『有』才『可以積』。既然『無窮小』數滿足『代數法則』，定然滿足推論中所用之『限定』的『代數關係式』 $N \cdot \Delta x = l \Longrightarrow H \cdot \delta x =l$ ，這應該是很自然的吧！！

─── 摘自《【Sonic π】電聲學之電路學《四》之《 !! 》》

且不管人世間『不知為不知』之說，揣想著平面國之『邏輯』應能『自圓其說』之理。

此或為『平投‧點投』的『聚焦義』吧︰

人類是使用符號的動物，故而能以語言、文字表述宇宙人生之萬象。然而這並非不學而能的事，實是成長學習過程中，日積月累之功。因此運用『矩陣光學』符號，展現『幾何光學』事理，不如想像之簡單容易，一般還得努力練習的哩？好處是熟悉之後對於『幾何光學』之理解也自然深化的了！

茲舉何謂『焦距』乙事，談談『平行光成像』之理︰

Lens_and_wavefronts Large_convex_lens

若問什麼是『平行光』？它與什麼『平行』的呢？？一束『平行』之光線，可用 $(h, \theta)$ ，這裡 $h$ 表示距離『光軸』的高度，視為此束『平行光』之參數變元；那個 $\theta$ 是此光束與『光軸』形成的夾角，因此為此束『平行光』之常數常元。因是『平行光』說其自身光線彼此平行而已。

…

如此就一個『焦距』為 $f$ 的『薄透鏡』

$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ - \frac{1}{f} & 1 \end{array} \right)$

，意味著與『光軸平行』之『平行光』 $\theta = 0$ 行經此『薄透鏡』後，將在離『薄透鏡』 $f$ 處『聚焦』，此點稱之為『焦點』。看來清楚明白之事，數理解析上要如何陳述此理耶？設想此束『平行光』剛過『薄透鏡』即將折屈，一段距離 $z$ 後，整束光會交匯於一點，也就是說此點存在且和 $h$ 無關也！且用 Sympy 工具幫忙運算一番︰

pi@raspberrypi:~ h \cdot \left( 1 - \frac{z}{f} \right) + z \cdot \theta z = f h\theta = 00f(0, \theta)f \left( \begin{array}{cc}

1 & 0 \\

- \frac{1}{f} & 1 \end{array} \right) \to \inftyI_2$


單位矩陣
在線性代數中， $n$ 階單位矩陣，是一個 $n\times n$ 的方形矩陣，其主對角線元素為1，其餘元素為0。單位矩陣以 $I_n$ 表示；如果階數可忽略，或可由前後文確定的話，也可簡記為 $I$ （或者E）。（在部分領域中，如量子力學，單位矩陣是以粗體字的1表示，否則無法與 $I$ 作區別。）

 $I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$ 

一些數學書籍使用 $U$ 和 $E$ （分別意為「單位矩陣」和「基本矩陣 」），不過I更加普遍。
特別是單位矩陣作為所有 $n$ 階矩陣的環的單位，以及作為由所有 $n$ 階可逆矩陣構成的一般線性群 $GL(n)$ 的單位元素（單位矩陣明顯可逆，單位矩陣乘自己，仍是單位矩陣）。
這些 $n$ 階矩陣經常表示來自 $n$ 維向量空間自己的線性變換， $I_n$ 表示恆等函數，而不理會基。
有時使用這個記法簡潔的描述對角線矩陣，寫作：

 $I_{n}={\mathrm {diag}}(1,1,...,1)$ 

也可以克羅內克爾δ記法寫作：

 $(I_{n})_{{ij}}=\delta _{{ij}}$ 

的嘛◎

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

GoPiGo 小汽車︰格點圖像算術《投影幾何》【四‧平面國】《戊》

2017-08-03 懸鉤子

□︰人工智慧之見，是善？是惡？

○︰非善非惡，器用無記。神、魔之為定數也。人之所作或然矣。恐乎近魔？

□︰不能神耶！

○︰非不能也，不為也。

○︰神者，坤之祀，法地禮天而已。苟不愛其土，果能為哉？

物理天地原有，本之以為發明，豈非自然乎？如是奈何心中不安！『物用』、『用物』之術常生分殊耶！？

正所以假

《時間序列︰阿涅西的女巫》

文本再次重申

‧ 如何深入了解一個重要的定律︰

大數定律

在數學與統計學中，大數定律又稱大數法則、大數律，是描述相當多次數重複實驗的結果的定律。根據這個定律知道，樣本數量越多，則其平均就越趨近期望值。

大數定律很重要，因為它「保證」了一些隨機事件的均值的長期穩定性。人們發現，在重複試驗中，隨著試驗次數的增加，事件發生的頻率趨於一個穩定值；人們同時也發現，在對物理量的測量實踐中，測定值的算術平均也具有穩定性。比如，我們向上拋一枚硬幣，硬幣落下後哪一面朝上本來是偶然的，但當我們上拋硬幣的次數足夠多後，達到上萬次甚至幾十萬幾百萬次以後，我們就會發現，硬幣每一面向上的次數約占總次數的二分之一。偶然之中包含著必然。

切比雪夫定理的一個特殊情況、辛欽定理和伯努利大數定律都概括了這一現象，都稱為大數定律。

表現形式

大數定律主要有兩種表現形式：弱大數定律和強大數定律。定律的兩種形式都肯定無疑地表明，樣本均值

{\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})

收斂於真值

{\overline {X}}_{n}\,\to \,\mu \qquad {\textrm {for}}\qquad n\to \infty ,

其中 X₁, X₂, … 是獨立同分布的，期望值 E(X₁) = E(X₂) = …= µ 的，勒貝格可積的隨機變量構成的無窮序列。X_j 的勒貝格可積性意味著期望值 E(X_j) 存在且有限。

方差 Var(X₁) = Var(X₂) = … = σ² < ∞ 有限的假設是非必要的。很大或者無窮大的方差會使其收斂得緩慢一些，但大數定律仍然成立。通常採用這個假設來使證明更加簡潔。

強和弱之間的差別在所斷言的收斂的方式。對於這些方式的解釋，參見隨機變量的收斂。

‧ 有時候不只要知道它的推導過程︰…

‧ 還要能知道有沒有反例︰…

‧ 清楚明白違背的理由︰…

‧ 且試著追溯它的歷史︰

箕舌線

箕舌線是平面曲線的一種，也被稱為阿涅西的女巫（英語：The Witch of Agnesi）^[1]^[2]^[3]。

給定一個圓和圓上的一點O。對於圓上的任何其它點A，作割線OA。設M是O的對稱點。OA與M的切線相交於N。過N且與OM平行的直線，與過A且與OM垂直的直線相交於P。則P的軌跡就是箕舌線。

箕舌線有一條漸近線，它是上述給定圓過O點的切線。

方程

設O是原點，M在正的y軸上。假設圓的半徑是a。

則曲線的方程為 $y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}$ 。

注意如果a=1/2，則曲線化為最簡單的形式： $y={\frac {1}{x^{2}+1}}.$

如果 $\theta \,$ 是OM與OA的夾角，則曲線的參數方程為：

x=2a\tan \theta ,\ y=2a\cos ^{2}\theta .\,

如果 $\theta \,$ 是OA與x軸的夾角，則曲線的參數方程為：

x=2a\cot \theta ,\ y=2a\sin ^{2}\theta .\,

箕舌線

歷史

皮埃爾·德·費馬曾在1630年研究這條曲線。1703年時格蘭迪提出了建構這條曲線的方法。1718年時格蘭迪建議將這條曲線命名為versoria，意思是張帆的繩子，並將這條曲線的義大利文名稱命名為versiera^[4]

1748年時瑪利亞·阿涅西出版了著名的著作《Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana》，其中箕舌線仍沿用格蘭迪取的名稱versiera^[4]，一恰好當時的義大利文Aversiera/Versiera是衍生自拉丁文的Adversarius，是魔鬼的一個稱呼「與神為敵的」，和女巫是同義詞^[5]。也許因為這個原因，劍橋教授約翰·科爾森就誤譯了這條曲線。許多近代有關阿涅西及此曲線的著作對於誤譯的原因有些不同的猜測^[6]^[7]^[8]斯特洛伊克認為：

versiera這個字是衍生自拉丁文的vertere，但後者也是義大利文avversiera（女魔鬼）的縮寫。英格蘭有些聰敏者將之翻譯成女巫（英語：witch），而這好笑的雙關語仍存於多數的英文教材裡。在費馬的著作（Oeuvres, I, 279-280; III, 233-234）就已經出現這條曲線，其名稱versiera是格蘭迪取的，在牛頓的曲線分類中，它是第63類……第一個使用女巫來描述這條曲線的可能是威廉森在1875年的《Integral calculus》中首次使用^[9]

另一方面，史蒂芬·史蒂格勒認為是格蘭迪自已在玩文字遊戲^[10]。

應用

箕舌線除了其理論的性質外．也常出現在現實生活中．不過這次應用是在20世紀末期及21世紀才有足夠的了解。在為一些物體現象建立數學模型時，會出現箕舌線^[11]。此方程式近似光線及X光的譜線分布，也是共振電路中的能量耗散量。

箕舌線和柯西分布的機率密度函數有相同的形式。

光滑小山嶽的截面也類似箕舌線。在數學建模中已用箕舌線作為一種流場的障礙物^[12]^[13]。

‧ 確定論理之條件︰…

談談『平面國』耳熟能詳之『統通哲學』︰

能統此，故通彼。

的『觀點』。

其幸存之《平面國數典》的『聯星‧平行』詞條記載曰︰

物遠則迷離，眼見不分明，度量有取捨，因此『聯星』擬『平行』義也。

設若 $\overline{EF}$ 為直徑，繞圓心 $D$ 逆旋，因著點 $F$ 遙遠之故﹐位於 $A$ 處的理想觀察者之度量將為 $(\frac{r \cdot \cos(\theta)}{d + r \cdot \sin(\theta)}, 1)$ 。當此遙遠 $d >> r$ 之際， $\frac{1}{d + r \cdot \sin(\theta)} \approx \frac{1}{d}$ ，故而宛如 $(r \cdot \cos(\theta), d)$ 於 $D, y = d$ 處之平行投影。實與聯星近處之觀察者所見數據有差異也。

※ 註

雙星 (天文)

雙星是觀測天文學的名詞，當兩顆恆星由地球上觀察時，在視線的方向上非常接近，以致以肉眼看起來像是只有一顆恆星，但使用望遠鏡時就能分辨出來是一對的恆星。這種情形可以發生在一對聯星，也就是有著互動的軌道，並且被彼此的重力束縛在一起；也可以是光學雙星，這是兩顆有這不同的距離，但恰巧在天空中相同的方向上被對準在一起^[1]^[2]。聯星對恆星天文學家是很重要的，當知道它們的運動，就可以直接計算它們的質量和其它地恆星參數。從1780年代開始，研究雙星的專業和業餘天文學家就透過望遠鏡的觀測量雙星之間的距離和角度，以量度每一對雙星之間的相對運動^[3]。如果測量出的相對運動是一段軌道弧線，或者相對運動相較於這兩顆恆星本身的一般自行是很小的值，就可以得到這兩顆恆星沒有相互的軌道運動。換言之，這一對就只是光學雙星^[2]。雖然多顆的恆星系統的運動比聯星更為複雜，但對聚星的研究也是用這種方法。

成對的恆星有下列三種：

光學雙星：是無關聯的恆星－只是從地球看過去他們恰好對齊在一起；
目視聯星－被重力束縛在一起，使用光學望遠鏡就可以分辨的恆星；
非目視聯星－要使用更專業的工具，像是掩星（食雙星）、光譜（光譜聯星）、或異常的自行（天測聯星）才能分辨的聯星。

就觀念而言，後面這兩種之間其實沒有差別。望遠鏡的改進可以將非目視聯星重分類至目視聯星中，像北極星在2006年就發生這種情形。因此，第三種只是我們在觀測方法上的不同造成的區別。

樹莓派、樹莓派之學習、樹莓派之教育

GoPiGo 小汽車︰格點圖像算術《投影幾何》【四‧平面國】《丁》

2017-08-02 懸鉤子

當我們不明白書籍『文字所指』之時，容易『望文生義』。

【孫子歌】

三人同行七十稀，
五樹梅花廿一枝，
七子團圓正半月，
除百零五便得知。

其實是說『餘數定理』的例子，不過彷彿『雞同鴨講』罷了︰

《孫子算經‧序》孫子曰：

夫算者，天地之經緯，群生之元首；五常之本末，陰陽之父母；星辰之建號，三光之表裹；五行之準平，四時之終始；萬物之祖宗，六藝之綱紀。稽群倫之聚散，考二氣之降升；推寒暑之迭運，步遠近之殊同；觀天道精微之兆基，察地理從橫之長短；采神祇之所在，極成敗之符驗；窮道德之理，究性命之情。立規矩，準方圓，謹法度，約尺丈，立權衡，平重輕，剖毫釐，析黍絫；歷億載而不朽，施八極而無疆。散之不可勝究，斂之不盈掌握。嚮之者富有餘，背之者貧且窶；心開者幼沖而即悟，意閉者皓首而難精。夫欲學之者必務量能揆己，志在所專。如是則焉有不成者哉。

南宋時的數學家秦九韶著作《數書九章》內有『大衍求一術』，正好用來『解詩』，『七十』除三餘一，卻為『五、七』整除；『二十一』除五餘一，卻為『三、七』整除；『十五』除七餘一，卻為『三、五』整除；三數的最小公倍數『三乘五乘七』是為『百零五』，所以答案是 $105 \times n + 1$ 。『科技』與『人文』難道一定是『南轅北轍』不能『對話共歌』的嗎？？

就像皮亞諾之『後繼數』概念，似乎太過『抽象』而不自然一般︰

義大利的數學家朱塞佩‧皮亞諾 Giuseppe Peano 提出『自然數』之五條公設的系統。用著『未定義』的『基元』數『零 $0$ 』，以及『後繼數』successor 的概念，打造了一階算術系統，現今稱之為『皮亞諾算術系統』︰

一、 $0$ 是自然數。
二、如果 $n$ 是自然數，則 $n$ 的後繼數也是自然數。
三、 $0$ 不是任何自然數的後繼數。
四、如果兩個自然數的後繼數相等，則這兩個自然數相等。
五、任何關於自然數的命題，假使證明了這個命題對於自然數 $0$ 是真的，如果它對自然數 $n$ 為真時，又可以證明它對 $n$ 後繼數也真，那麼這個命題對所有的自然數都是真的── 數學歸納法 ──。

於是可以將皮亞諾算術表達成︰此處 $S$ 代表某數之後繼數

$\forall n (Sn \neq 0)$
$\forall m, n ((Sm = Sn) \Rightarrow m = n)$
$\varphi[0] \wedge \forall n \ (\varphi[n]\Rightarrow\varphi[Sn]) \Rightarrow \forall n \ (\varphi[n])$ ，就是數學歸納法
$\forall n (n + 0 = n)$
$\forall m, n(m + Sn = S(m + n))$
$\forall n (n \cdot 0 = 0)$
$\forall m, n (m \cdot Sn = (m \cdot n) + m)$

唐賈島《尋隱者不遇》
松下問童子，
言師採藥去。
只在此山中，
雲深不知處。

果真身緣此山中，不識廬山真面目！！

皮亞諾將『算術』公設化變成了祇有『零』、『後繼數』以及『相等』三個關於『計物數』之『基本』的『概念』。抽象了的『自然數』是否一樣『自然』，能如『骨牌』從『零』開始，一個推倒一個以至於『無窮』的嗎？？

─── 摘自《λ 運算︰計物數《上》》

也許那個『寫實』之『投影』，才會如此難以掌握哩。

【越調】天淨沙‧秋思
元 馬致遠

枯籐老樹昏鴉，
小橋流水人家，
古道西風瘦馬。
夕陽西下，
斷腸人在天涯。

繪畫、照片與書法是哪種比較『寫實』？哪個又較為『抽象』？《秋思》中用具象《『藤』、『樹』、『鴉』》，來虛寫『時光變化』之《『枯』、『老』、『昏』》；以實景《『橋』、『水』、『家』》，將串成『應歸之所』的《『小』、『流』、『人』》；終至於『道』得『古』、『風』是『西』、『馬』又怎能不『廋』？此刻也許只該是『夕陽西下』？？否則哪歸結的出『胡不歸去』之『斷腸人在天涯』！！

或許『失重』的『實物』漂浮於天之涯海之角，反而更顯得『虛幻』的了！！而『抽象』的『圖形』一旦擬似具體構物，或會因『沈重』終將失去『空靈』的嗎？？

─── 摘自《λ 運算︰計物數《中》》

若知維基百科這段『射影』 Projection (mathematics) 文字

In mathematics, a projection is a mapping of a set (or other mathematical structure) into a subset (or sub-structure), which is equal to its square for mapping composition (or, in other words, which is idempotent). The restriction to a subspace of a projection is also called a projection, even if the idempotence property is lost.

實寫『投影』之『同名異物』

‧ 平面 → 投影線

‧ 投影線 → 投影線

或可解惑乎？★

所謂【平面 → 投影線】

此講

投影

在線性代數和泛函分析中，投影是從向量空間映射到自身的一種線性變換，是日常生活中「平行投影」概念的形式化和一般化。同現實中陽光將事物投影到地面上一樣，投影變換將整個向量空間映射到它的其中一個子空間，並且在這個子空間中是恆等變換^[1]。

定義

投影的嚴格定義是：一個從向量空間 V 射到它自身的線性變換 P 是投影，若且唯若 $P^{2}=P$ 。另外一個定義則較為直觀：P 是投影，若且唯若存在 V 的一個子空間 W ，使得 P 將所有V中的元素都映射到 W 中，而且 P 在 W 上是恆等變換。用數學的語言描述，就是：

\exists W

，使得

\forall u\in V,P(u)\in W

，並且

\forall u\in W,P(u)=u

變換 P 是在線 m 上的正交投影。

簡單例子

在現實生活中，陽光在地面上留下各種影子。這就是投影變換最直白的例子。可以理想化地假設陽光都是沿著同一個方向（比如說垂直於地面的角度）照射而來，大地是嚴格的平面，那麼，對於任意一個物體（比如說一隻正在飛行的鳥），它的位置可以用向量 (x, y, z) 來表示，而這隻鳥在陽光下對應著一個影子，也就是 (x, y, 0)。這樣的一個變換就是一個投影變換。它將三維空間中的向量 (x, y, z) 到映射到向量 (x, y, 0) 。這是在 x–y 平面上的投影。這個變換可以用矩陣表示為

P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.

因為對任意一個向量 (x, y, z) ，這個矩陣的作用是：

P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}

注意到如果一個向量原來就是表示地面上的一點的話（也就是說它的z分量等於0），那麼經過變換 P 後不會有改變。也就是說這個變換在子空間 x–y 平面上是恆等變換，這證明了 P 的確是一個投影。

另外，

P^{2}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=P{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}};

所以 P = P²，這也證明 P 的確是投影。

『直觀義』也。固然 $V$ 的『空間維度』大於等於 $W$ ，通常之義 $V > W$ ，一般故是『多對一』之『映射』 Map (mathematics) 耶！所以沒有『反函數』乎？

因此『以義求義』，『中心投射』 central projection 『定義』是將任意一條通過『觀察者』之『原點』的整條『射線』 ray $y = \lambda \cdot x$ 上的『所有點』 $(x, y)$ 『映射』到『投影線』之『某一點』 $(\frac{1}{\lambda},1)$ 當然無法反演矣！

此義傳言《平面國數典》之斷簡殘篇記載為『相對』於『觀察者』之『數』。

且借該國言傳道

【投影線 → 投影線】

吧！

眾『物』處世界中，非人之所為，故以之為『客觀』也。『觀者』亦眾，各有『度量數據』，皆是自然之『相對』觀點。況『物』有『動靜』，察有『座標』。祇是『幾何』旨在『不變性』，正所以『投影』研究『數據』間的『恆常關係』矣。

見圖類推自識自知焉◎

誠可務本立基呦☆

The Fundamental Theory of Projective Geometry

FreeSandal

每月彙整: 2017 年 8 月

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單位矩陣

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大數定律

表現形式

箕舌線

方程

歷史

應用

雙星 (天文)

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投影

定義

簡單例子

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